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@@ -1,4 +1,6 @@
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@@ -14,20 +16,28 @@
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\linespread{1.08} \doublespacing
\title{고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
\author{이승준}
\date{\today}
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \begin{titlepage}
\centering
\vspace*{\fill}
{\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
\vspace{2em}
{\large 20페이지}
\vspace*{\fill}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{1}
\newpage \newpage
@@ -50,20 +60,13 @@
\section{연구 설계} \section{연구 설계}
본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다. 본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이며, 해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례하며, 벽의 두께는 무시한다.
해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다. 그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은, 고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다.
벽의 두께는 무시한다.
그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은,
고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤,
밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤, 밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다. 겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다.
처음에는 변의 수가 많은 정다각형일수록 부피가 더 클 것이라 직관적으로 예상하였다. 이 탐구에서는 그 예상이 수학적으로 타당한지를 검증하고, 나아가 어떤 도형이 진정한 최적인지를 엄밀하게 밝힌다.
\section{직육면체의 최적화} \section{직육면체의 최적화}
@@ -81,11 +84,11 @@
본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시), 본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다. 컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다: 윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
\begin{equation} \begin{equation*}
S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
\end{equation} \end{equation*}
따라서 제약조건은 따라서 제약조건은
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -94,19 +97,19 @@
ab + 2c(a + b) = k ab + 2c(a + b) = k
\label{eq:cuboid_constraint} \label{eq:cuboid_constraint}
\end{equation} \end{equation}
이다. 한편 부피는 이다. 한편 부피 $V$는
\begin{equation} \begin{equation*}
V(a, b, c) = abc V(a, b, c) = abc
\end{equation} \end{equation*}
이다. 이다.
\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거} \subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다. 밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
식 \ref{eq:cuboid_constraint}는 식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
\begin{equation} \begin{equation*}
p + 2c(a + b) = k p + 2c(a + b) = k
\end{equation} \end{equation*}
이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면 이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
\begin{equation} \begin{equation}
c = \frac{k - p}{2(a + b)} c = \frac{k - p}{2(a + b)}
@@ -128,42 +131,63 @@
식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면, 식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면,
\begin{equation*} \begin{equation*}
V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} = \frac{p \cdot (k - p)}{2(a + b)}
\end{equation*} \end{equation*}
이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다. 분자 부분이 상수가 된다. 따라서 $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해 그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해
\begin{equation} \begin{equation*}
a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p} a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p}
\end{equation} \end{equation*}
가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다. 가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다.
따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며, 따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며,
결국 최적해는 반드시 결국 최적해는 반드시 $a = b$를 만족해야한다.
\begin{equation}
a = b 위에서 사용한 산술기하 평균(AM-GM) 방법 외에 편미분을 이용하는 방법으로도 $a = b$를 도출할 수 있다.
\end{equation} 편미분(partial derivative)이란 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서, 나머지 변수를 모두 상수로 고정하고 특정 변수 하나에 대해서만 미분하는 것을 의미한다.
를 만족해야한다. 예를 들어 $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$에서 $y$를 상수로 취급하고 $x$에 대해 미분하면
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2
\end{equation*}
이 된다.
식 \ref{eq:cuboid_volume}의 부피 $V(a, b) = \dfrac{ab(k - ab)}{2(a+b)}$에 편미분을 적용하면,
$b$를 상수로 두고 $a$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial a} = 0$을 정리하면
\begin{equation*}
\frac{\partial V}{\partial a} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
k = a^2 + 2ab
\end{equation*}
가 되고, 대칭적으로 $a$를 상수로 두고 $b$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial b} = 0$을 정리하면
\begin{equation*}
\frac{\partial V}{\partial b} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
k = 2ab + b^2
\end{equation*}
가 된다. 두 식을 연립하면 $a^2 = b^2$, 즉 $a = b$ ($a, b > 0$)가 도출된다.
이처럼 편미분을 이용한 접근은 두 방정식을 연립하여 $a = b$를 직접 이끌어 낸다. 반면 AM-GM 방법은 "분모 $(a+b)$를 최소화한다"는 기하학적 직관을 바탕으로 등호 성립 조건을 바로 읽어낸다는 장점이 있다. 두 방법 모두 같은 결론에 이르지만, AM-GM은 왜 $a = b$여야 하는지를 보다 직관적으로 설명해 준다.
\subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}} \subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}}
이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는 이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는
\begin{equation} \begin{equation*}
V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
= \frac{ka - a^3}{4} = \frac{ka - a^3}{4}
\end{equation} \end{equation*}
가 된다. 가 된다.
최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면, 최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면,
\begin{equation} \begin{equation*}
V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0 V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0
\quad \Longrightarrow \quad \quad \Longrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3}} a = \sqrt{\frac{k}{3}}
\end{equation} \end{equation*}
이 된다. 이 된다.
또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다. 또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다.
따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로 따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) > 0$임으로
$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에, $V(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) < 0$임으로 $V(a)$가 감소하기 때문에,
$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\begin{figure}[H] \begin{figure}[H]
\centering \centering
@@ -183,30 +207,30 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)} \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
\addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4}; \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4};
\addlegendentry{$f(a)$} \addlegendentry{$V(a)$}
\addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)}; \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)};
\addlegendentry{$f'(a)$} \addlegendentry{$V'(a)$}
\addplot[green] {-6/4*a}; \addplot[green] {-6/4*a};
\addlegendentry{$f''(a)$} \addlegendentry{$V''(a)$}
\addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)}; \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)};
\addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$} \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$}
\end{axis} \end{axis}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프} \caption{함수 $V(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
\label{fig:f_and_derivative} \label{fig:f_and_derivative}
\end{figure} \end{figure}
도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면, 도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면,
\begin{equation} \begin{equation*}
c = \frac{k - p}{2(a + b)} c = \frac{k - p}{2(a + b)}
= \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}} = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}}
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}}
= \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} a
\end{equation} \end{equation*}
이 된다. 따라서 최적 비율은 이 된다. 따라서 최적 비율은
\begin{equation} \begin{equation}
\boxed{a = b = 2c} \boxed{a = b = 2c}
@@ -221,11 +245,14 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\end{equation} \end{equation}
이 된다. 이 된다.
직관적으로 정육면체(높이와 밑변이 같은 경우)가 부피를 최대화할 것이라 예상하였으나, 윗면이 없는 조건으로 인해 높이 $c$가 밑변 $a$의 절반이 되는 형태가 최적임을 알 수 있었다. 이는 윗면이 없어 절약된 겉넓이를 밑면 확장에 더 유리하게 사용할 수 있기 때문으로 해석된다.
\subsection{해석 및 다음 단계} \subsection{해석 및 다음 단계}
직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다. 직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다.
이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여, 이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여,
변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다. 변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다.
이때 변이 많아질수록 밑면이 원에 가까워지므로, 부피가 단조 증가하여 원기둥이 최적일 것이라 예상하였다. 이를 수학적으로 엄밀히 확인한다.
\section{정다각형 기둥의 최적화} \section{정다각형 기둥의 최적화}
@@ -269,15 +296,15 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
이다. 이다.
이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는 이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
\begin{equation} \begin{equation*}
A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}} A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
\end{equation} \end{equation*}
이 된다. 이 된다.
이때 계산의 편의를 위해 이때 계산의 편의를 위해 ($t$는 $n$에 따라 결정되는 양수 상수이다)
\begin{equation} \begin{equation*}
t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)} t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
\end{equation} \end{equation*}
로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. 로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
\begin{equation} \begin{equation}
A = ta^2 A = ta^2
@@ -292,10 +319,10 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
\end{equation} \end{equation}
로 나타낼 수 있다. 로 나타낼 수 있다.
기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다. 기둥의 겉넓이 $S$는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이 $Pb$의 합이다.
\begin{equation} \begin{equation*}
S(a, b, n) = A + Pb S(a, b, n) = A + Pb
\end{equation} \end{equation*}
따라서 제약조건은 따라서 제약조건은
\begin{equation} \begin{equation}
S(a, b, n) = k S(a, b, n) = k
@@ -303,7 +330,7 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
A + Pb = k A + Pb = k
\label{eq:regular_polygon_constraint} \label{eq:regular_polygon_constraint}
\end{equation} \end{equation}
이다. 한편 부피는 이다. 한편 부피 $V$는
\begin{equation} \begin{equation}
V(a, b, n) = Ab V(a, b, n) = Ab
\label{eq:regular_polygon_v0} \label{eq:regular_polygon_v0}
@@ -331,9 +358,8 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다. 결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다.
따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다. 따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다. 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
\[ \[
V_{n_0}(a):=V(a,n_0) V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
\] \]
@@ -341,43 +367,15 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}} \subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, $n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, $V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0}(ka - ta^3)$는 $a$에 대한 함수가 된다.
앞서 직육면체에서와 동일한 방법으로 $V_{n_0}'(a)=0$을 풀면,
\begin{equation} \begin{equation}
V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right) \frac{t}{n_0}(k - 3ta^2) = 0
\end{equation}
는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다.
$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에
\begin{equation}
V_{n_0}'(a)=0
\end{equation}
이 성립해야 한다.
이를 계산하면,
\begin{equation}
V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right)
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0
\quad \Longrightarrow \quad \quad \Longrightarrow \quad
k - 3ta^2 = 0
\quad \Longrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3t}}.
\label{eq:regular_polygon_a_opt}
\end{equation}
를 도출할 수 있다.
또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는
해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다.
\[
V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
\]
이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다.
따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
\begin{equation}
a = \sqrt{\frac{k}{3t}} a = \sqrt{\frac{k}{3t}}
\label{eq:regular_polygon_a} \label{eq:regular_polygon_a}
\end{equation} \end{equation}
로 결정된다. 이 된다. 또한 $V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta)<0$ ($a>0$)이므로 이 임계점이 최댓값임을 알 수 있다.
\subsection{최적 조건에서의 A와 b} \subsection{최적 조건에서의 A와 b}
@@ -389,27 +387,32 @@ $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의
$A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다. $A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다.
이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어, 이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어,
밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다. 밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
이 결과는 처음에 예상하지 못한 것이었다. 밑면의 형태가 삼각형이든 정사각형이든 원이든 관계없이, 최대 부피 조건에서는 겉넓이의 정확히 $\frac{1}{3}$이 항상 밑면에 배분된다는 보편적 원리가 성립함을 발견하였다.
기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면, 기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
\begin{equation} \begin{equation*}
b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P} b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
\end{equation*}
가 된다. 따라서 최대 부피 조건에서의 밑면 넓이와 높이를 정리하면
\begin{equation}
\boxed{A = \frac{k}{3}, \quad b = \frac{2k}{3P}}
\end{equation} \end{equation}
가 된다. 이다.
\subsection{최적 조건에서의 부피} \subsection{최적 조건에서의 부피}
기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는 기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는
\begin{equation} \begin{equation}
V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P} V_{\max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
\end{equation} \end{equation}
가 된다. 가 된다.
여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다. 여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여 따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
\begin{equation} \begin{equation*}
V_{\max}(P) = \frac{C}{P} V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
\quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0) \quad \left(C = \frac{2k^2}{9} > 0\right)
\end{equation} \end{equation*}
와 같은 형태를 가진다. 와 같은 형태를 가진다.
함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로, 함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
@@ -417,9 +420,9 @@ $P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다. 따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다.
$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면 $P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
\begin{equation} \begin{equation*}
P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}} P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
\end{equation} \end{equation*}
이 된다. 이 된다.
이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다. 이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
@@ -430,43 +433,35 @@ $P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어
라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다. 라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다. 여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다. 그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다.
이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다. 이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 추후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
이 방법이 유효하려면 연속 범위에서 도출한 단조성이 이산적인 정수 범위에서도 동일하게 유지되어야 한다. 만약 $Q(n)$이 $n > 2$인 실수 범위에서 극값을 가진다면, 연속 분석에서 얻은 단조 감소 결론이 정수 $n$에는 적용되지 않을 수 있다. 그러나 본 탐구에서는 $Q'(n) < 0$을 모든 $n > 2$에 대해 엄밀히 증명하였으므로, 이 방법의 적용이 정당화된다.
$Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다. $Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다.
먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다. 먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다.
$Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라 $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
\begin{equation} \begin{equation*}
Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right) Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{equation} \end{equation*}
가 된다. 가 된다.
이때 계산을 간단히 하기 위하여 이때 계산을 간단히 하기 위하여 $\theta=\frac{\pi}{n}$이라 두면,
\begin{equation} \begin{equation*}
\theta=\frac{\pi}{n}
\end{equation}
이라 두면,
\begin{equation}
Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
\end{equation} \end{equation*}
로 표현할 수 있기에, 로 표현할 수 있기에,
\begin{equation} \begin{equation*}
\tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0 \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
\quad \Longrightarrow \quad \quad \Longrightarrow \quad
\sin{\theta} \cos{\theta} = \theta \sin{\theta} \cos{\theta} = \theta
\end{equation} \end{equation*}
배각공식에 따르면 배각공식 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$에 따르면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$가 성립한다.
\begin{equation}
2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta}
\quad \Longrightarrow \quad
\sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2}
\end{equation}
가 성립한다.
따라서 극값이 존재하기 위해서는 따라서 극값이 존재하기 위해서는
\begin{equation} \begin{equation*}
\theta = \frac{\sin 2\theta}{2} \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
\end{equation} \end{equation*}
를 만족해야 한다. 를 만족해야 한다.
이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다. 이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -474,50 +469,27 @@ $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
\quad (\theta \leq \frac{\pi}{3}) \quad (\theta \leq \frac{\pi}{3})
\end{equation} \end{equation}
그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다. 그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다.
이 함수의 도함수는 이 함수의 도함수는 $f'(\theta) = \cos 2\theta - 1$이다.
\begin{equation} 삼각함수의 성질에 의해 $\cos 2\theta \leq 1$이며, $\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로 $f'(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1 또한 $f(0) = 0$이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
\end{equation}
이다.
삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며,
$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로
\begin{equation}
f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0)
\end{equation}
가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
또한
\begin{equation}
f(0) = 0
\end{equation}
이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해 그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해
$\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며, $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다. 유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다.
더 나아가, 위에서 $f(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)임을 보였으므로 $\sin\theta\cos\theta < \theta$가 성립한다. 이를 이용하면
\begin{equation*}
Q'(n) = \tan\theta - \theta\sec^2\theta = \frac{\sin\theta\cos\theta - \theta}{\cos^2\theta} < 0
\end{equation*}
임을 직접 확인할 수 있다. 분자 $\sin\theta\cos\theta - \theta < 0$이고 분모 $\cos^2\theta > 0$이므로, $Q(n)$은 $n \geq 3$ 전체에서 순감소 함수이다.
내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다. 내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다.
본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다. 본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
따라서 $Q(n)$의 정의역은 따라서 $Q(n)$의 정의역은 $\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}$이다.
\begin{equation}
\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}
\end{equation}
이다.
이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 $Q(3) \simeq 5.196$이다.
\begin{equation}
Q(3) \simeq 5.196
\end{equation}
이다.
우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다. 우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 $u = \frac{1}{n}$으로 정의하면 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \lim_{u \to 0}Q(u)$이 된다. 이를 계산하면
\begin{equation}
u = \frac{1}{n}
\end{equation}
으로 정의하면,
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)}
\end{equation}
이 된다. 이를 계산하면
\begin{equation} \begin{equation}
\lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}} \lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
= \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}} = \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
@@ -528,13 +500,14 @@ $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다. $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다. 이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다. 따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다.
\section{원기둥의 최적화} \section{원기둥의 최적화}
원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다. 앞서 정다각형 분석에서 $Q(n)$이 순감소하며 $V_{\max}(n)$이 단조 증가함을 보였고, 그 극한이 $\frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3\pi}}$임을 확인하였다. 이제 극한의 도형인 원기둥의 최대 부피를 직접 계산하여 이 값과 일치하는지 검증한다.
원기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다. 이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다. 그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
@@ -545,17 +518,17 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\label{fig:cylinder} \label{fig:cylinder}
\end{figure} \end{figure}
윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다 윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 밑면과 옆면의 합이다:
\begin{equation} \begin{equation*}
S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
\end{equation} \end{equation*}
겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은 겉넓이는 $k$로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
\begin{equation} \begin{equation}
S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \quad \pi a^2 + 2 \pi ab = k
\label{eq:cylinder_constraint} \label{eq:cylinder_constraint}
\end{equation} \end{equation}
이다. 이다.
부피는 한편 부피 $V$는
\begin{equation} \begin{equation}
V(a, b) = \pi a^2 b V(a, b) = \pi a^2 b
\label{eq:cylinder_V} \label{eq:cylinder_V}
@@ -569,37 +542,25 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\end{equation} \end{equation}
가 된다. 가 된다.
이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는 이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는
\begin{equation} \begin{equation*}
V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2} V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2}
\end{equation} \end{equation*}
이 된다. 이 된다.
부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다. 앞서와 동일한 방법으로 $V'(a)=0$을 풀면,
도함수는 \begin{equation*}
\begin{equation} \frac{k - 3\pi a^2}{2} = 0
V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2} \quad \Longrightarrow \quad
\end{equation} a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}}
이기에, \end{equation*}
\begin{equation} 이 된다. $V''(a) = -3\pi a < 0$ ($a > 0$)이므로 이 임계점이 최댓값이다.
V'(a) = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
\frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
\end{equation}
이다.
또한,
\begin{equation}
V''(a) = -3 \pi a
\end{equation}
로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다.
이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면, 이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면,
\begin{equation} \begin{equation*}
b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a} b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
= \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}} = \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}}
= \sqrt{\frac{k}{3 \pi}} = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
\end{equation} \end{equation*}
가 된다. 가 된다.
따라서 최적 비율은 따라서 최적 비율은
\begin{equation} \begin{equation}
@@ -609,7 +570,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
최대 부피는 최대 부피는
\begin{equation} \begin{equation}
V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2} V_{\max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
\end{equation} \end{equation}
이다. 이다.
@@ -621,7 +582,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\begin{tikzpicture} \begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ \begin{axis}[
axis lines=middle, axis lines=middle,
xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$, xlabel=$n$, ylabel=$V_{\max}$,
legend style={draw=none, fill=none} legend style={draw=none, fill=none}
] ]
@@ -636,18 +597,16 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
(\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))}) (\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))})
}; };
} }
\addlegendentry{$V_{max}(n)$} \addlegendentry{$V_{\max}(n)$}
\end{axis} \end{axis}
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
\caption{함수 $V_{max}(n)$} \caption{함수 $V_{\max}(n)$}
\label{fig:v_max_n} \label{fig:v_max_n}
\end{figure} \end{figure}
그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. 이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, 각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며,
각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다. 그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
@@ -657,87 +616,45 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\end{itemize} \end{itemize}
이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다. 이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
최대 부피는 앞서 도출한 $V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}$과 $P(n) = 2\sqrt{\frac{kn\tan(\pi/n)}{3}}$를 결합하면,
\begin{equation} \begin{equation*}
V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)} V_{\max}(n) = \frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{Q(n)}}
\end{equation} \end{equation*}
이며, 둘레는 로 나타낼 수 있다. 따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 $Q(n) = n\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$의 변화에 의해 결정된다.
\begin{equation}
P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
V_{\max}(n)
= \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}}
= \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}}
\end{equation}
로 나타낼 수 있다.
따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수 앞서 $Q(n)$이 순감소하며 $\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi$임을 보였다. 따라서
\begin{equation} \begin{equation*}
Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{equation}
의 변화에 의해 결정된다.
앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며,
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi
\end{equation}
임을 보였다.
따라서
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} V_{\max}(n) \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
= \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}} = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
\end{equation} \end{equation*}
가 된다. 가 된다.
이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다. 이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
이러한 일치는 정다각형이 $n \to \infty$일 때 원으로 수렴한다는 기하학적 사실의 수학적 표현이다. 탐구 초반에 세운 예상—변이 많을수록 부피가 크고 원기둥이 최적—이 극한 분석과 원기둥 직접 계산 모두에서 일관되게 검증된 셈이다.
또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 $\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다. 즉, $\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$ ($n \to \infty$)이므로 $Q(n) \approx \pi$로 빠르게 수렴하게 되고, 이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
즉,
\begin{equation}
\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}
\quad (n \to \infty)
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
Q(n) \approx \pi
\end{equation}
로 빠르게 수렴하게 되고,
이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
기하학적으로 해석하면, 기하학적으로 해석하면, 정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, 같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, 이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, 결과적으로 부피가 증가하게 된다.
같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고,
결과적으로 부피가 증가하게 된다.
그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에, 부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에,
부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다. 이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다.
따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, 그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
\section{결론} \section{결론}
본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다. 이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때
가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다. 먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
\[ \[
a=b=2c a=b=2c
\] \]
일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다. 일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
즉, 밑면은 정사각형이 되며, 즉, 밑면은 정사각형이 되며, 높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
또한 이때 밑면의 넓이는 항상 또한 이때 밑면의 넓이는 항상
\[ \[
A=\frac{k}{3} A=\frac{k}{3}
@@ -745,9 +662,7 @@ $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
이 됨을 확인하였다. 이 됨을 확인하였다.
이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다. 이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, 고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤,
고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
그 결과, 그 결과,
\[ \[
a=\sqrt{\frac{k}{3t}} a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
@@ -757,57 +672,108 @@ $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
A=\frac{k}{3} A=\frac{k}{3}
\] \]
이 됨을 확인하였다. 이 됨을 확인하였다.
이는 밑면의 형태와 무관하게 이는 밑면의 형태와 무관하게, 최대 부피를 가지는 경우에는 전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, $\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
최대 부피를 가지는 경우에는
전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에,
$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
다음으로 부피 최대화를 위해서는 다음으로 부피 최대화를 위해서는 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, 이를 위해 함수
둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
이를 위해 함수
\[ \[
Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
\] \]
을 분석하였다. 을 분석하였다.
내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 경계 분석을 통해
경계 분석을 통해
\[ \[
\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
\] \]
임을 도출하였다. 임을 도출하였다.
이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, 이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, 그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 최대 부피를 가지는 도형은 밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
최대 부피를 가지는 도형은 이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 세 도형에 대한 최적 조건과 최대 부피를 표 \ref{tab:summary}에 정리한다.
원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{@{}lccc@{}}
\toprule
도형 & 최적 비율 & 밑면 넓이 & 최대 부피 \\
\midrule
직육면체 & $a = b = 2c$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{k}{3}\right)^{\!3/2}$ \\[8pt]
정$n$각형 기둥 & $A = \dfrac{k}{3},\; b = \dfrac{2k}{3P}$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{2k^2}{9P(n)}$ \\[8pt]
원기둥 & $a = b$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\pi\!\left(\dfrac{k}{3\pi}\right)^{\!3/2}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{도형별 최대 부피 조건 비교}
\label{tab:summary}
\end{table}
표에서 밑면 넓이가 세 경우 모두 $\frac{k}{3}$로 동일함을 한눈에 확인할 수 있다.
\subsection*{구체적 수치 예시}
탐구의 출발점인 3D 프린팅 상황에 실제 수치를 대입하여 결과를 구체적으로 확인한다.
필라멘트 양이 겉넓이 $k = 600\,\text{cm}^2$에 해당한다고 하자.
\textbf{원기둥:}
\begin{equation*}
a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}} = \sqrt{\frac{600}{3\pi}} \approx 7.98\,\text{cm}, \qquad b = a \approx 7.98\,\text{cm}
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_{\max} = \pi a^3 = \pi\!\left(\frac{600}{3\pi}\right)^{\!3/2} \approx 1596\,\text{cm}^3
\end{equation*}
\textbf{직육면체:}
\begin{equation*}
a = b = \sqrt{\frac{k}{3}} = \sqrt{200} \approx 14.14\,\text{cm}, \qquad c = \frac{a}{2} \approx 7.07\,\text{cm}
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_{\max} = a^2 c = \frac{1}{2}\!\left(\frac{k}{3}\right)^{\!3/2} \approx 1414\,\text{cm}^3
\end{equation*}
정$n$각형 기둥의 경우 $n = 3, 4, 6$ 및 원기둥에 대한 결과를 표 \ref{tab:numerical}에 정리한다.
이때 모든 경우에서 밑면 넓이 $A = k/3 = 200\,\text{cm}^2$로 일정하다.
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{@{}ccccc@{}}
\toprule
$n$ & 밑면 & $a\,(\text{cm})$ & $b\,(\text{cm})$ & $V_{\max}\,(\text{cm}^3)$ \\
\midrule
3 & 정삼각형 & 21.49 & 6.20 & 1241 \\
4 & 정사각형 & 14.14 & 7.07 & 1414 \\
6 & 정육각형 & 8.77 & 7.60 & 1520 \\
$\infty$ & 원 & 7.98 & 7.98 & 1596 \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{$k = 600\,\text{cm}^2$일 때 정$n$각형 기둥의 최적 치수 및 최대 부피}
\label{tab:numerical}
\end{table}
$n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값에 수렴함을 수치로 확인할 수 있다.
직육면체($n = 4$)와 원기둥을 비교하면 같은 필라멘트 양으로 약 $\frac{1596 - 1414}{1414} \approx 12.9\%$ 더 큰 부피를 얻을 수 있다.
이는 소규모 부품 정리 컨테이너를 설계할 때 밑면 형태의 선택이 실질적인 차이를 만들어냄을 보여준다.
본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다. 본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다. \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
\item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다. \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, 원기둥이 최적 구조가 된다.
원기둥이 최적 구조가 된다.
\end{itemize} \end{itemize}
이 결과는 기하학적 대칭성이 이 결과는 기하학적 대칭성이 최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다. 대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로
더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고 다만 본 연구에는 몇 가지 한계와 확장 가능성이 있다.
겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. 첫째, 벽 두께를 무시하여 겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. 실제 3D 프린팅에서는 일정한 벽 두께가 유지되므로, 도형의 모서리나 꼭짓점 처리 방식에 따라 필라멘트 사용량 계산이 달라질 수 있다.
실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, 둘째, 본 연구는 윗면이 없는 기둥에 한정되었다. 윗면이 있는 닫힌 원기둥의 경우 겉넓이 공식이 $S = 2\pi a^2 + 2\pi ab$로 바뀌며, 동일한 방법으로 최적화하면
적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다. \[
향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 V'(a) = \frac{k}{2} - 3\pi a^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{\frac{k}{6\pi}}, \quad b = 2a
보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다. \]
가 되어 높이가 지름과 같은 형태가 최적이다. 이는 열린 원기둥의 최적 비율 $a = b$와 다르며, 윗면의 존재 여부가 최적 구조에 직접적인 영향을 줌을 보여준다.
셋째, 실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, 적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있으며, 향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 보다 정밀한 모델로 확장할 수 있을 것이다.
결론적으로, 결론적으로, 고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, 이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중
최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, \printbibliography
이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
\end{document} \end{document}
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\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\begin{titlepage}
\centering
\vspace*{\fill}
{\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
\vspace{2em}
{\large 29페이지}
\vspace*{\fill}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{1}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{서론}
본 연구는 3D 프린터로 정해진 필라멘트 양으로 최대한의 부피를 가진 컨테이너를 구하는 것에 대해 탐구한다.
본 저자는 평소 모델링이나 3D 프린팅에 관심이 많아 필요한 제품이 있을때 직접 디자인하여 출력하는 것을 좋아한다.
최근에는 로봇 개발을 위해 대량의 나사와 너트를 주문했다.
다양한 종류의 부품들이 비닐봉투에 담겨 왔다.
이들을 분류하여 정리하여 필요할때에 사용하기 위해 부품 종류별로 컨테이너를 만들기로 했다.
컨테이너를 디자인하는 것은 매우 쉽다.
그러나 적은 필라멘트로 최대 부피를 가진 컨테이너를 만들 수 있는 방안에 대해서는 생각해보지 않았다.
3D 프린팅을 자주하고 모델링이나 출력에 문제가 있는 경우 다시 출력해야하기 때문에 평소 필라멘트를 낭비하는 경우가 많았다.
이때문에 필라멘트를 자주 구매해야하기도 했으며, 환경에도 좋지 않았다.
따라서 정해진 필라멘트 양으로 최대 부피를 가진 컨테이너를 구하게 되었다.
\section{연구 설계}
본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다.
해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다.
벽의 두께는 무시한다.
그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은,
고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤,
밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다.
\section{직육면체의 최적화}
직육면체(윗면 없음)의 가로, 세로, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$로 둔다.
(이들은 모두 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$이다.)
그림 \ref{fig:cuboid}은 해당 직육면체를 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cuboid.png}
\caption{윗면이 없는 직육면체}
\label{fig:cuboid}
\end{figure}
본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
\begin{equation}
S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
\end{equation}
따라서 제약조건은
\begin{equation}
S(a, b, c) = k
\quad \Longleftrightarrow \quad
ab + 2c(a + b) = k
\label{eq:cuboid_constraint}
\end{equation}
이다. 한편 부피는
\begin{equation}
V(a, b, c) = abc
\end{equation}
이다.
\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
\begin{equation}
p + 2c(a + b) = k
\end{equation}
이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
\begin{equation}
c = \frac{k - p}{2(a + b)}
\label{eq:cuboid_c}
\end{equation}
이다. 따라서 부피는
\begin{equation}
V(a, b) = ab \cdot c
= p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
\label{eq:cuboid_volume}
\end{equation}
로 쓸 수 있다.
\subsection{\texorpdfstring{극댓값에서 $a = b$인 이유}{극댓값에서 a = b인 이유}}
이제 어떤 후보 $(a, b, c)$가 부피를 최대로 만드는 최적해라고 가정하자.
그 후보에서의 밑면 넓이 $p = ab$는 어떤 특정한 값 $p_0$를 갖는다.
이때 $p$가 동일한 다른 직사각형들(즉 $ab = p_0$인 다른 $(a, b)$)과 비교해도, 최적해라면 부피가 가장 커야한다.
식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면,
\begin{equation*}
V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
\end{equation*}
이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해
\begin{equation}
a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p}
\end{equation}
가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다.
따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며,
결국 최적해는 반드시
\begin{equation}
a = b
\end{equation}
를 만족해야한다.
\subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}}
이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는
\begin{equation}
V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
= \frac{ka - a^3}{4}
\end{equation}
가 된다.
최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면,
\begin{equation}
V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0
\quad \Longrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3}}
\end{equation}
이 된다.
또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다.
따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로
$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에,
$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
variable=a,
domain=0:3,
samples=100,
axis lines=middle,
xlabel=$a$, ylabel=,
xtick=\empty, ytick=\empty,
ymin=-2, ymax=2,
legend style={draw=none, fill=none}
]
\pgfmathsetmacro{\k}{5}
\pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
\addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4};
\addlegendentry{$f(a)$}
\addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)};
\addlegendentry{$f'(a)$}
\addplot[green] {-6/4*a};
\addlegendentry{$f''(a)$}
\addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)};
\addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
\label{fig:f_and_derivative}
\end{figure}
도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면,
\begin{equation}
c = \frac{k - p}{2(a + b)}
= \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}}
= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}}
= \frac{1}{2} a
\end{equation}
이 된다. 따라서 최적 비율은
\begin{equation}
\boxed{a = b = 2c}
\end{equation}
이다.
마지막으로 최대 부피는
\begin{equation}
V_{\max} = abc = a^2 c
=\left( \frac{k}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} \right)
=\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {3/2}.
\end{equation}
이 된다.
\subsection{해석 및 다음 단계}
직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다.
이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여,
변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다.
\section{정다각형 기둥의 최적화}
정다각형 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면의 한 변의 길이를 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 하고, 밑면의 변의 개수를 $n$이라 한다.
이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a>0$, $b>0$이며, 밑면은 최소 삼각형이므로 $n \geq 3$이다.
그림 \ref{fig:regular_polygon}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon.png}
\caption{윗면이 없는 정다각형 기둥}
\label{fig:regular_polygon}
\end{figure}
정다각형 기둥 분석에서도 벽의 두께는 무시하며, 겉넓이는 상수 $k$로 고정한다.
겉넓이와 부피를 계산하기에 앞서 밑변의 넓이를 $A$라 하자.
그림 \ref{fig:regular_polygon_top}과 같이, 변의 개수가 $n$개인 정다각형은 중심에서 각 꼭짓점으로 선을 그으면
$n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon_top.png}
\caption{정다각형 기둥 밑면}
\label{fig:regular_polygon_top}
\end{figure}
각 이등변삼각형의 꼭짓각은 $\frac{2 \pi}{n}$이고, 밑변의 길이는 $a$이다.
이때 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 이등변삼각형을 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.
이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는
\begin{equation*}
\frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
\end{equation*}
임을 구할 수 있다.
따라서 각 이등변삼각형의 넓이는
\begin{equation*}
\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
= \frac{a^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
\end{equation*}
이다.
이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
\begin{equation}
A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
\end{equation}
이 된다.
이때 계산의 편의를 위해
\begin{equation}
t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
\end{equation}
로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
\begin{equation}
A = ta^2
\label{eq:regular_polygon_A}
\end{equation}
다음으로 밑면의 둘레를 $P$라고 하자. $P$는
\begin{equation}
P = na
\label{eq:regular_polygon_P}
\end{equation}
로 나타낼 수 있다.
기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다.
\begin{equation}
S(a, b, n) = A + Pb
\end{equation}
따라서 제약조건은
\begin{equation}
S(a, b, n) = k
\quad \Longleftrightarrow \quad
A + Pb = k
\label{eq:regular_polygon_constraint}
\end{equation}
이다. 한편 부피는
\begin{equation}
V(a, b, n) = Ab
\label{eq:regular_polygon_v0}
\end{equation}
이다.
\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
식 \ref{eq:regular_polygon_constraint}을 $b$에 대해서 정리하면
\begin{equation}
b = \frac{k - A}{P}
\label{eq:regular_polygon_b}
\end{equation}
가 된다.
이를 식 \ref{eq:regular_polygon_v0}에 대입하면 부피는
\begin{equation}
V(a, n) = Ab = A \cdot \frac{k - A}{P} = \frac{t(ka - ta^3)}{n}
\label{eq:regular_polygon_v1}
\end{equation}
이 된다.
본 문제는 원래 밑면의 변 길이 $a$, 변의 수 $n$, 높이 $b$의 세 변수로 기술된다.
그러나 제약조건 $A+Pb=k$를 $b$에 대해 풀어 $b=\frac{k-A}{P}$로 나타낸 뒤 이를 부피식에 대입했으므로,
$b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다.
따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때,
먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
\[
V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
\]
를 최대화한다.
\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며,
\begin{equation}
V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right)
\end{equation}
는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다.
$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에
\begin{equation}
V_{n_0}'(a)=0
\end{equation}
이 성립해야 한다.
이를 계산하면,
\begin{equation}
V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right)
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0
\quad \Longrightarrow \quad
k - 3ta^2 = 0
\quad \Longrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3t}}.
\label{eq:regular_polygon_a_opt}
\end{equation}
를 도출할 수 있다.
또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는
해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다.
\[
V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
\]
이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다.
따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
\begin{equation}
a = \sqrt{\frac{k}{3t}}
\label{eq:regular_polygon_a}
\end{equation}
로 결정된다.
\subsection{최적 조건에서의 A와 b}
식 \ref{eq:regular_polygon_A}에 계산한 $a$값을 대입하면,
\begin{equation}
A = ta^2 = \frac{k}{3}
\end{equation}
이 된다.
$A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다.
이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어,
밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
\begin{equation}
b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
\end{equation}
가 된다.
\subsection{최적 조건에서의 부피}
기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는
\begin{equation}
V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
\end{equation}
가 된다.
여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
\begin{equation}
V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
\quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0)
\end{equation}
와 같은 형태를 가진다.
함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
$P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다.
$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
\begin{equation}
P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
\end{equation}
이 된다.
이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어야 한다.
\begin{equation}
Q(n) = n \tan{(\pi / n)} \quad (n \geq 3)
\end{equation}
라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다.
이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
$Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다.
먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다.
$Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
\begin{equation}
Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{equation}
가 된다.
이때 계산을 간단히 하기 위하여
\begin{equation}
\theta=\frac{\pi}{n}
\end{equation}
이라 두면,
\begin{equation}
Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
\end{equation}
로 표현할 수 있기에,
\begin{equation}
\tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
\sin{\theta} \cos{\theta} = \theta
\end{equation}
배각공식에 따르면
\begin{equation}
2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta}
\quad \Longrightarrow \quad
\sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2}
\end{equation}
가 성립한다.
따라서 극값이 존재하기 위해서는
\begin{equation}
\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
\end{equation}
를 만족해야 한다.
이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
\begin{equation}
f(\theta) = \frac{\sin 2\theta}{2} - \theta
\quad (\theta \leq \frac{\pi}{3})
\end{equation}
그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다.
이 함수의 도함수는
\begin{equation}
f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1
\end{equation}
이다.
삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며,
$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로
\begin{equation}
f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0)
\end{equation}
가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
또한
\begin{equation}
f(0) = 0
\end{equation}
이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해
$\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다.
내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다.
본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
따라서 $Q(n)$의 정의역은
\begin{equation}
\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}
\end{equation}
이다.
이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은
\begin{equation}
Q(3) \simeq 5.196
\end{equation}
이다.
우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에
\begin{equation}
u = \frac{1}{n}
\end{equation}
으로 정의하면,
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)}
\end{equation}
이 된다. 이를 계산하면
\begin{equation}
\lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
= \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
= \pi \cdot 1
= \pi
\end{equation}
이 된다.
$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에
부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다.
\section{원기둥의 최적화}
원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cylinder.png}
\caption{윗면이 없는 원기둥}
\label{fig:cylinder}
\end{figure}
윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다
\begin{equation}
S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
\end{equation}
겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
\begin{equation}
S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k
\label{eq:cylinder_constraint}
\end{equation}
이다.
부피는
\begin{equation}
V(a, b) = \pi a^2 b
\label{eq:cylinder_V}
\end{equation}
이다.
식 \ref{eq:cylinder_constraint}를 $b$에 대해 정리하면
\begin{equation}
b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
\label{eq:cylinder_b}
\end{equation}
가 된다.
이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는
\begin{equation}
V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2}
\end{equation}
이 된다.
부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다.
도함수는
\begin{equation}
V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2}
\end{equation}
이기에,
\begin{equation}
V'(a) = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
\frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
\end{equation}
이다.
또한,
\begin{equation}
V''(a) = -3 \pi a
\end{equation}
로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다.
이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면,
\begin{equation}
b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
= \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}}
= \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
\end{equation}
가 된다.
따라서 최적 비율은
\begin{equation}
\boxed{a = b}
\end{equation}
이다.
최대 부피는
\begin{equation}
V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
\end{equation}
이다.
\section{n에 따른 변화}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$,
legend style={draw=none, fill=none}
]
\pgfmathsetmacro{\k}{100}
\foreach \n in {3,...,50} {
\addplot[
only marks,
mark=*,
mark size=1.2pt
] coordinates {
(\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))})
};
}
\addlegendentry{$V_{max}(n)$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{함수 $V_{max}(n)$}
\label{fig:v_max_n}
\end{figure}
그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이
변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며,
각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
\begin{itemize}
\item $n$이 증가할수록 $V_{\max}(n)$은 단조 증가한다.
\item 증가량은 점점 감소하며, 특정 값에 점근적으로 수렴하는 형태를 보인다.
\end{itemize}
이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
최대 부피는
\begin{equation}
V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}
\end{equation}
이며, 둘레는
\begin{equation}
P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
V_{\max}(n)
= \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}}
= \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}}
\end{equation}
로 나타낼 수 있다.
따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수
\begin{equation}
Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{equation}
의 변화에 의해 결정된다.
앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며,
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi
\end{equation}
임을 보였다.
따라서
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
= \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
\end{equation}
가 된다.
이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는
$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
즉,
\begin{equation}
\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}
\quad (n \to \infty)
\end{equation}
이므로,
\begin{equation}
Q(n) \approx \pi
\end{equation}
로 빠르게 수렴하게 되고,
이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
기하학적으로 해석하면,
정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며,
같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고,
결과적으로 부피가 증가하게 된다.
그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는
정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에,
부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다.
따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는
$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
\section{결론}
본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서
최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때
가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서
부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
\[
a=b=2c
\]
일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
즉, 밑면은 정사각형이 되며,
높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
또한 이때 밑면의 넓이는 항상
\[
A=\frac{k}{3}
\]
이 됨을 확인하였다.
이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
제약조건을 이용하여 높이를 소거하고
부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤,
고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
그 결과,
\[
a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
\]
이며, 이때 역시 밑면의 넓이는
\[
A=\frac{k}{3}
\]
이 됨을 확인하였다.
이는 밑면의 형태와 무관하게
최대 부피를 가지는 경우에는
전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에,
$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
다음으로 부피 최대화를 위해서는
둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
이를 위해 함수
\[
Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
\]
을 분석하였다.
내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고,
경계 분석을 통해
\[
\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
\]
임을 도출하였다.
이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며,
그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서
최대 부피를 가지는 도형은
밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때
원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
\begin{itemize}
\item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
\item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
원기둥이 최적 구조가 된다.
\end{itemize}
이 결과는 기하학적 대칭성이
최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로
더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고
겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다.
실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도,
적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다.
향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여
보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다.
결론적으로,
고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중
최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며,
이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
\end{document}