diff --git a/latex/build/main.pdf b/latex/build/main.pdf index b44315b..50ee086 100644 Binary files a/latex/build/main.pdf and b/latex/build/main.pdf differ diff --git a/latex/main.tex b/latex/main.tex index 9d82fe6..e3790ce 100644 --- a/latex/main.tex +++ b/latex/main.tex @@ -1,4 +1,6 @@ -\documentclass{article} +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[a4paper, margin=2.5cm]{geometry} +\usepackage{setspace} \usepackage{kotex} \usepackage[toc, page]{appendix} \usepackage{hyperref} @@ -14,20 +16,28 @@ \usepackage[style=apa,backend=biber]{biblatex} \addbibresource{references.bib} +\usepackage{booktabs} \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=1.18} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{0.6em} -\linespread{1.08} - -\title{고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구} -\author{이승준} -\date{\today} +\doublespacing \begin{document} -\maketitle +\begin{titlepage} + \centering + \vspace*{\fill} + {\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구} + + \vspace{2em} + + {\large 20페이지} + \vspace*{\fill} +\end{titlepage} + +\setcounter{page}{1} \newpage @@ -50,20 +60,13 @@ \section{연구 설계} -본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다. - -해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다. - -이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다. -벽의 두께는 무시한다. - -그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은, -고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다. - -우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤, -밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다. +본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이며, 해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다. +이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례하며, 벽의 두께는 무시한다. +그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은, 고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다. +우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤, 밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다. 겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다. +처음에는 변의 수가 많은 정다각형일수록 부피가 더 클 것이라 직관적으로 예상하였다. 이 탐구에서는 그 예상이 수학적으로 타당한지를 검증하고, 나아가 어떤 도형이 진정한 최적인지를 엄밀하게 밝힌다. \section{직육면체의 최적화} @@ -81,11 +84,11 @@ 본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시), 컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다. -윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다: +윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다: -\begin{equation} +\begin{equation*} S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca -\end{equation} +\end{equation*} 따라서 제약조건은 \begin{equation} @@ -94,19 +97,19 @@ ab + 2c(a + b) = k \label{eq:cuboid_constraint} \end{equation} -이다. 한편 부피는 -\begin{equation} +이다. 한편 부피 $V$는 +\begin{equation*} V(a, b, c) = abc -\end{equation} +\end{equation*} 이다. \subsection{제약조건을 이용한 변수 제거} 밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다. 식 \ref{eq:cuboid_constraint}는 -\begin{equation} +\begin{equation*} p + 2c(a + b) = k -\end{equation} +\end{equation*} 이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면 \begin{equation} c = \frac{k - p}{2(a + b)} @@ -128,42 +131,63 @@ 식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면, \begin{equation*} - V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} + V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} = \frac{p \cdot (k - p)}{2(a + b)} \end{equation*} -이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다. +분자 부분이 상수가 된다. 따라서 $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다. 그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해 -\begin{equation} +\begin{equation*} a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p} -\end{equation} +\end{equation*} 가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다. 따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며, -결국 최적해는 반드시 -\begin{equation} - a = b -\end{equation} -를 만족해야한다. +결국 최적해는 반드시 $a = b$를 만족해야한다. + +위에서 사용한 산술기하 평균(AM-GM) 방법 외에 편미분을 이용하는 방법으로도 $a = b$를 도출할 수 있다. +편미분(partial derivative)이란 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서, 나머지 변수를 모두 상수로 고정하고 특정 변수 하나에 대해서만 미분하는 것을 의미한다. +예를 들어 $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$에서 $y$를 상수로 취급하고 $x$에 대해 미분하면 +\begin{equation*} + \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 +\end{equation*} +이 된다. + +식 \ref{eq:cuboid_volume}의 부피 $V(a, b) = \dfrac{ab(k - ab)}{2(a+b)}$에 편미분을 적용하면, +$b$를 상수로 두고 $a$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial a} = 0$을 정리하면 +\begin{equation*} + \frac{\partial V}{\partial a} = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + k = a^2 + 2ab +\end{equation*} +가 되고, 대칭적으로 $a$를 상수로 두고 $b$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial b} = 0$을 정리하면 +\begin{equation*} + \frac{\partial V}{\partial b} = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + k = 2ab + b^2 +\end{equation*} +가 된다. 두 식을 연립하면 $a^2 = b^2$, 즉 $a = b$ ($a, b > 0$)가 도출된다. + +이처럼 편미분을 이용한 접근은 두 방정식을 연립하여 $a = b$를 직접 이끌어 낸다. 반면 AM-GM 방법은 "분모 $(a+b)$를 최소화한다"는 기하학적 직관을 바탕으로 등호 성립 조건을 바로 읽어낸다는 장점이 있다. 두 방법 모두 같은 결론에 이르지만, AM-GM은 왜 $a = b$여야 하는지를 보다 직관적으로 설명해 준다. \subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}} 이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는 -\begin{equation} +\begin{equation*} V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} = \frac{ka - a^3}{4} -\end{equation} +\end{equation*} 가 된다. 최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면, -\begin{equation} +\begin{equation*} V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{\frac{k}{3}} -\end{equation} +\end{equation*} 이 된다. 또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다. -따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로 -$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에, -$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. +따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) > 0$임으로 +$V(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) < 0$임으로 $V(a)$가 감소하기 때문에, +$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. \begin{figure}[H] \centering @@ -183,30 +207,30 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)} \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4}; - \addlegendentry{$f(a)$} + \addlegendentry{$V(a)$} \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)}; - \addlegendentry{$f'(a)$} + \addlegendentry{$V'(a)$} \addplot[green] {-6/4*a}; - \addlegendentry{$f''(a)$} + \addlegendentry{$V''(a)$} \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)}; \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$} \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프} + \caption{함수 $V(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프} \label{fig:f_and_derivative} \end{figure} 도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면, -\begin{equation} +\begin{equation*} c = \frac{k - p}{2(a + b)} = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} = \frac{1}{2} a -\end{equation} +\end{equation*} 이 된다. 따라서 최적 비율은 \begin{equation} \boxed{a = b = 2c} @@ -221,11 +245,14 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. \end{equation} 이 된다. +직관적으로 정육면체(높이와 밑변이 같은 경우)가 부피를 최대화할 것이라 예상하였으나, 윗면이 없는 조건으로 인해 높이 $c$가 밑변 $a$의 절반이 되는 형태가 최적임을 알 수 있었다. 이는 윗면이 없어 절약된 겉넓이를 밑면 확장에 더 유리하게 사용할 수 있기 때문으로 해석된다. + \subsection{해석 및 다음 단계} 직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다. 이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여, 변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다. +이때 변이 많아질수록 밑면이 원에 가까워지므로, 부피가 단조 증가하여 원기둥이 최적일 것이라 예상하였다. 이를 수학적으로 엄밀히 확인한다. \section{정다각형 기둥의 최적화} @@ -269,15 +296,15 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다. 이다. 이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는 -\begin{equation} +\begin{equation*} A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}} -\end{equation} +\end{equation*} 이 된다. -이때 계산의 편의를 위해 -\begin{equation} +이때 계산의 편의를 위해 ($t$는 $n$에 따라 결정되는 양수 상수이다) +\begin{equation*} t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)} -\end{equation} +\end{equation*} 로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. \begin{equation} A = ta^2 @@ -292,10 +319,10 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다. \end{equation} 로 나타낼 수 있다. -기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다. -\begin{equation} +기둥의 겉넓이 $S$는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이 $Pb$의 합이다. +\begin{equation*} S(a, b, n) = A + Pb -\end{equation} +\end{equation*} 따라서 제약조건은 \begin{equation} S(a, b, n) = k @@ -303,7 +330,7 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다. A + Pb = k \label{eq:regular_polygon_constraint} \end{equation} -이다. 한편 부피는 +이다. 한편 부피 $V$는 \begin{equation} V(a, b, n) = Ab \label{eq:regular_polygon_v0} @@ -331,9 +358,8 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다. 결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다. 따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다. -그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다. -즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, -먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수 +우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다. +즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수 \[ V_{n_0}(a):=V(a,n_0) \] @@ -341,43 +367,15 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다. \subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}} -$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, +$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, $V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0}(ka - ta^3)$는 $a$에 대한 함수가 된다. +앞서 직육면체에서와 동일한 방법으로 $V_{n_0}'(a)=0$을 풀면, \begin{equation} - V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right) -\end{equation} -는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다. -$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에 -\begin{equation} - V_{n_0}'(a)=0 -\end{equation} -이 성립해야 한다. -이를 계산하면, -\begin{equation} - V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) -\end{equation} -이므로, -\begin{equation} - \frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0 + \frac{t}{n_0}(k - 3ta^2) = 0 \quad \Longrightarrow \quad - k - 3ta^2 = 0 - \quad \Longrightarrow \quad - a = \sqrt{\frac{k}{3t}}. - \label{eq:regular_polygon_a_opt} -\end{equation} -를 도출할 수 있다. - -또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는 -해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다. -\[ - V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0) -\] -이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다. -따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는 -\begin{equation} a = \sqrt{\frac{k}{3t}} \label{eq:regular_polygon_a} \end{equation} -로 결정된다. +이 된다. 또한 $V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta)<0$ ($a>0$)이므로 이 임계점이 최댓값임을 알 수 있다. \subsection{최적 조건에서의 A와 b} @@ -389,27 +387,32 @@ $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 $A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다. 이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어, 밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다. +이 결과는 처음에 예상하지 못한 것이었다. 밑면의 형태가 삼각형이든 정사각형이든 원이든 관계없이, 최대 부피 조건에서는 겉넓이의 정확히 $\frac{1}{3}$이 항상 밑면에 배분된다는 보편적 원리가 성립함을 발견하였다. 기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면, -\begin{equation} +\begin{equation*} b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P} +\end{equation*} +가 된다. 따라서 최대 부피 조건에서의 밑면 넓이와 높이를 정리하면 +\begin{equation} + \boxed{A = \frac{k}{3}, \quad b = \frac{2k}{3P}} \end{equation} -가 된다. +이다. \subsection{최적 조건에서의 부피} 기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는 \begin{equation} - V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P} + V_{\max} = Ab = \frac{2k^2}{9P} \end{equation} 가 된다. 여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다. 따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여 -\begin{equation} +\begin{equation*} V_{\max}(P) = \frac{C}{P} - \quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0) -\end{equation} + \quad \left(C = \frac{2k^2}{9} > 0\right) +\end{equation*} 와 같은 형태를 가진다. 함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로, @@ -417,9 +420,9 @@ $P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다. 따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다. $P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면 -\begin{equation} +\begin{equation*} P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}} -\end{equation} +\end{equation*} 이 된다. 이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다. @@ -430,43 +433,35 @@ $P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어 라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다. 여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다. 그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다. -이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다. +이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 추후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다. + +이 방법이 유효하려면 연속 범위에서 도출한 단조성이 이산적인 정수 범위에서도 동일하게 유지되어야 한다. 만약 $Q(n)$이 $n > 2$인 실수 범위에서 극값을 가진다면, 연속 분석에서 얻은 단조 감소 결론이 정수 $n$에는 적용되지 않을 수 있다. 그러나 본 탐구에서는 $Q'(n) < 0$을 모든 $n > 2$에 대해 엄밀히 증명하였으므로, 이 방법의 적용이 정당화된다. $Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다. 먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다. $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라 -\begin{equation} +\begin{equation*} Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right) -\end{equation} +\end{equation*} 가 된다. -이때 계산을 간단히 하기 위하여 -\begin{equation} - \theta=\frac{\pi}{n} -\end{equation} -이라 두면, -\begin{equation} +이때 계산을 간단히 하기 위하여 $\theta=\frac{\pi}{n}$이라 두면, +\begin{equation*} Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} -\end{equation} +\end{equation*} 로 표현할 수 있기에, -\begin{equation} +\begin{equation*} \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin{\theta} \cos{\theta} = \theta -\end{equation} +\end{equation*} -배각공식에 따르면 -\begin{equation} - 2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta} - \quad \Longrightarrow \quad - \sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2} -\end{equation} -가 성립한다. +배각공식 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$에 따르면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$가 성립한다. 따라서 극값이 존재하기 위해서는 -\begin{equation} +\begin{equation*} \theta = \frac{\sin 2\theta}{2} -\end{equation} +\end{equation*} 를 만족해야 한다. 이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다. \begin{equation} @@ -474,50 +469,27 @@ $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라 \quad (\theta \leq \frac{\pi}{3}) \end{equation} 그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다. -이 함수의 도함수는 -\begin{equation} - f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1 -\end{equation} -이다. -삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며, -$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로 -\begin{equation} - f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0) -\end{equation} -가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다. -또한 -\begin{equation} - f(0) = 0 -\end{equation} -이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다. +이 함수의 도함수는 $f'(\theta) = \cos 2\theta - 1$이다. +삼각함수의 성질에 의해 $\cos 2\theta \leq 1$이며, $\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로 $f'(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다. +또한 $f(0) = 0$이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다. 그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해 $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며, 유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다. +더 나아가, 위에서 $f(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)임을 보였으므로 $\sin\theta\cos\theta < \theta$가 성립한다. 이를 이용하면 +\begin{equation*} + Q'(n) = \tan\theta - \theta\sec^2\theta = \frac{\sin\theta\cos\theta - \theta}{\cos^2\theta} < 0 +\end{equation*} +임을 직접 확인할 수 있다. 분자 $\sin\theta\cos\theta - \theta < 0$이고 분모 $\cos^2\theta > 0$이므로, $Q(n)$은 $n \geq 3$ 전체에서 순감소 함수이다. + 내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다. 본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다. -따라서 $Q(n)$의 정의역은 -\begin{equation} - \{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\} -\end{equation} -이다. +따라서 $Q(n)$의 정의역은 $\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}$이다. -이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 -\begin{equation} - Q(3) \simeq 5.196 -\end{equation} -이다. +이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 $Q(3) \simeq 5.196$이다. 우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다. -이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 -\begin{equation} - u = \frac{1}{n} -\end{equation} -으로 정의하면, -\begin{equation} - \lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)} -\end{equation} -이 된다. 이를 계산하면 +이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 $u = \frac{1}{n}$으로 정의하면 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \lim_{u \to 0}Q(u)$이 된다. 이를 계산하면 \begin{equation} \lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}} = \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}} @@ -528,13 +500,14 @@ $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며, $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다. 이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다. -정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 -부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다. +정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다. 따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다. \section{원기둥의 최적화} -원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다. +앞서 정다각형 분석에서 $Q(n)$이 순감소하며 $V_{\max}(n)$이 단조 증가함을 보였고, 그 극한이 $\frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3\pi}}$임을 확인하였다. 이제 극한의 도형인 원기둥의 최대 부피를 직접 계산하여 이 값과 일치하는지 검증한다. + +원기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다. 이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다. 그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다. @@ -545,17 +518,17 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 \label{fig:cylinder} \end{figure} -윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다 -\begin{equation} +윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 밑면과 옆면의 합이다: +\begin{equation*} S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab -\end{equation} -겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은 +\end{equation*} +겉넓이는 $k$로 고정되어 있기 때문에 제약조건은 \begin{equation} - S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k + S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \quad \pi a^2 + 2 \pi ab = k \label{eq:cylinder_constraint} \end{equation} 이다. -부피는 +한편 부피 $V$는 \begin{equation} V(a, b) = \pi a^2 b \label{eq:cylinder_V} @@ -569,37 +542,25 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 \end{equation} 가 된다. 이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는 -\begin{equation} +\begin{equation*} V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2} -\end{equation} +\end{equation*} 이 된다. -부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다. -도함수는 -\begin{equation} - V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2} -\end{equation} -이기에, -\begin{equation} - V'(a) = 0 - \quad \Longleftrightarrow \quad - \frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0 - \quad \Longleftrightarrow \quad - a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}} -\end{equation} -이다. -또한, -\begin{equation} - V''(a) = -3 \pi a -\end{equation} -로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다. +앞서와 동일한 방법으로 $V'(a)=0$을 풀면, +\begin{equation*} + \frac{k - 3\pi a^2}{2} = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}} +\end{equation*} +이 된다. $V''(a) = -3\pi a < 0$ ($a > 0$)이므로 이 임계점이 최댓값이다. 이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면, -\begin{equation} +\begin{equation*} b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a} = \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}} = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}} -\end{equation} +\end{equation*} 가 된다. 따라서 최적 비율은 \begin{equation} @@ -609,7 +570,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 최대 부피는 \begin{equation} - V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2} + V_{\max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2} \end{equation} 이다. @@ -621,7 +582,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines=middle, - xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$, + xlabel=$n$, ylabel=$V_{\max}$, legend style={draw=none, fill=none} ] @@ -636,18 +597,16 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 (\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))}) }; } - \addlegendentry{$V_{max}(n)$} + \addlegendentry{$V_{\max}(n)$} \end{axis} \end{tikzpicture} - \caption{함수 $V_{max}(n)$} + \caption{함수 $V_{\max}(n)$} \label{fig:v_max_n} \end{figure} -그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 -변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. -이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, -각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다. +그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. +이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, 각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다. 그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다. @@ -657,87 +616,45 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무 \end{itemize} 이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다. -최대 부피는 -\begin{equation} - V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)} -\end{equation} -이며, 둘레는 -\begin{equation} - P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}} -\end{equation} -이므로, -\begin{equation} - V_{\max}(n) - = \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}} - = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}} -\end{equation} -로 나타낼 수 있다. +앞서 도출한 $V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}$과 $P(n) = 2\sqrt{\frac{kn\tan(\pi/n)}{3}}$를 결합하면, +\begin{equation*} + V_{\max}(n) = \frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{Q(n)}} +\end{equation*} +로 나타낼 수 있다. 따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 $Q(n) = n\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$의 변화에 의해 결정된다. -따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수 -\begin{equation} - Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) -\end{equation} -의 변화에 의해 결정된다. - -앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며, -\begin{equation} - \lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi -\end{equation} -임을 보였다. -따라서 -\begin{equation} +앞서 $Q(n)$이 순감소하며 $\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi$임을 보였다. 따라서 +\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n) = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}} -\end{equation} +\end{equation*} 가 된다. 이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다. +이러한 일치는 정다각형이 $n \to \infty$일 때 원으로 수렴한다는 기하학적 사실의 수학적 표현이다. 탐구 초반에 세운 예상—변이 많을수록 부피가 크고 원기둥이 최적—이 극한 분석과 원기둥 직접 계산 모두에서 일관되게 검증된 셈이다. -또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 -$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다. -즉, -\begin{equation} - \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n} - \quad (n \to \infty) -\end{equation} -이므로, -\begin{equation} - Q(n) \approx \pi -\end{equation} -로 빠르게 수렴하게 되고, -이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다. +또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 $\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다. +즉, $\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$ ($n \to \infty$)이므로 $Q(n) \approx \pi$로 빠르게 수렴하게 되고, 이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다. -기하학적으로 해석하면, -정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, -같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다. -이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, -결과적으로 부피가 증가하게 된다. +기하학적으로 해석하면, 정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, 같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다. +이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, 결과적으로 부피가 증가하게 된다. -그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 -정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에, -부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다. +그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에, 부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다. 이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다. -따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 -$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, -그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다. +따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, 그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다. \section{결론} -본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 -최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다. -이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 -가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다. +본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다. +이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다. 먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다. -겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 -부피 $V=abc$를 최대화한 결과, +겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 부피 $V=abc$를 최대화한 결과, \[ a=b=2c \] 일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다. -즉, 밑면은 정사각형이 되며, -높이는 밑변 길이의 절반이 된다. +즉, 밑면은 정사각형이 되며, 높이는 밑변 길이의 절반이 된다. 또한 이때 밑면의 넓이는 항상 \[ A=\frac{k}{3} @@ -745,9 +662,7 @@ $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, 이 됨을 확인하였다. 이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다. -제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 -부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, -고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다. +제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, 고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다. 그 결과, \[ a=\sqrt{\frac{k}{3t}} @@ -757,57 +672,108 @@ $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, A=\frac{k}{3} \] 이 됨을 확인하였다. -이는 밑면의 형태와 무관하게 -최대 부피를 가지는 경우에는 -전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, -$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다. +이는 밑면의 형태와 무관하게, 최대 부피를 가지는 경우에는 전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, $\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다. -다음으로 부피 최대화를 위해서는 -둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, -이를 위해 함수 +다음으로 부피 최대화를 위해서는 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, 이를 위해 함수 \[ Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \] 을 분석하였다. -내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, -경계 분석을 통해 +내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 경계 분석을 통해 \[ \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi \] 임을 도출하였다. -이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, -그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다. +이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, 그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다. -따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 -최대 부피를 가지는 도형은 -밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다. -이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 -원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다. +따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 최대 부피를 가지는 도형은 밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다. +이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다. + +세 도형에 대한 최적 조건과 최대 부피를 표 \ref{tab:summary}에 정리한다. + +\begin{table}[H] + \centering + \begin{tabular}{@{}lccc@{}} + \toprule + 도형 & 최적 비율 & 밑면 넓이 & 최대 부피 \\ + \midrule + 직육면체 & $a = b = 2c$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{k}{3}\right)^{\!3/2}$ \\[8pt] + 정$n$각형 기둥 & $A = \dfrac{k}{3},\; b = \dfrac{2k}{3P}$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{2k^2}{9P(n)}$ \\[8pt] + 원기둥 & $a = b$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\pi\!\left(\dfrac{k}{3\pi}\right)^{\!3/2}$ \\ + \bottomrule + \end{tabular} + \caption{도형별 최대 부피 조건 비교} + \label{tab:summary} +\end{table} + +표에서 밑면 넓이가 세 경우 모두 $\frac{k}{3}$로 동일함을 한눈에 확인할 수 있다. + +\subsection*{구체적 수치 예시} + +탐구의 출발점인 3D 프린팅 상황에 실제 수치를 대입하여 결과를 구체적으로 확인한다. +필라멘트 양이 겉넓이 $k = 600\,\text{cm}^2$에 해당한다고 하자. + +\textbf{원기둥:} +\begin{equation*} + a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}} = \sqrt{\frac{600}{3\pi}} \approx 7.98\,\text{cm}, \qquad b = a \approx 7.98\,\text{cm} +\end{equation*} +\begin{equation*} + V_{\max} = \pi a^3 = \pi\!\left(\frac{600}{3\pi}\right)^{\!3/2} \approx 1596\,\text{cm}^3 +\end{equation*} + +\textbf{직육면체:} +\begin{equation*} + a = b = \sqrt{\frac{k}{3}} = \sqrt{200} \approx 14.14\,\text{cm}, \qquad c = \frac{a}{2} \approx 7.07\,\text{cm} +\end{equation*} +\begin{equation*} + V_{\max} = a^2 c = \frac{1}{2}\!\left(\frac{k}{3}\right)^{\!3/2} \approx 1414\,\text{cm}^3 +\end{equation*} + +정$n$각형 기둥의 경우 $n = 3, 4, 6$ 및 원기둥에 대한 결과를 표 \ref{tab:numerical}에 정리한다. +이때 모든 경우에서 밑면 넓이 $A = k/3 = 200\,\text{cm}^2$로 일정하다. + +\begin{table}[H] + \centering + \begin{tabular}{@{}ccccc@{}} + \toprule + $n$ & 밑면 & $a\,(\text{cm})$ & $b\,(\text{cm})$ & $V_{\max}\,(\text{cm}^3)$ \\ + \midrule + 3 & 정삼각형 & 21.49 & 6.20 & 1241 \\ + 4 & 정사각형 & 14.14 & 7.07 & 1414 \\ + 6 & 정육각형 & 8.77 & 7.60 & 1520 \\ + $\infty$ & 원 & 7.98 & 7.98 & 1596 \\ + \bottomrule + \end{tabular} + \caption{$k = 600\,\text{cm}^2$일 때 정$n$각형 기둥의 최적 치수 및 최대 부피} + \label{tab:numerical} +\end{table} + +$n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값에 수렴함을 수치로 확인할 수 있다. +직육면체($n = 4$)와 원기둥을 비교하면 같은 필라멘트 양으로 약 $\frac{1596 - 1414}{1414} \approx 12.9\%$ 더 큰 부피를 얻을 수 있다. +이는 소규모 부품 정리 컨테이너를 설계할 때 밑면 형태의 선택이 실질적인 차이를 만들어냄을 보여준다. 본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다. \begin{itemize} \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다. \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다. - \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, - 원기둥이 최적 구조가 된다. + \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, 원기둥이 최적 구조가 된다. \end{itemize} -이 결과는 기하학적 대칭성이 -최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다. -대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 -더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다. +이 결과는 기하학적 대칭성이 최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다. +대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다. -다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고 -겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. -실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, -적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다. -향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 -보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다. +다만 본 연구에는 몇 가지 한계와 확장 가능성이 있다. +첫째, 벽 두께를 무시하여 겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. 실제 3D 프린팅에서는 일정한 벽 두께가 유지되므로, 도형의 모서리나 꼭짓점 처리 방식에 따라 필라멘트 사용량 계산이 달라질 수 있다. +둘째, 본 연구는 윗면이 없는 기둥에 한정되었다. 윗면이 있는 닫힌 원기둥의 경우 겉넓이 공식이 $S = 2\pi a^2 + 2\pi ab$로 바뀌며, 동일한 방법으로 최적화하면 +\[ + V'(a) = \frac{k}{2} - 3\pi a^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{\frac{k}{6\pi}}, \quad b = 2a +\] +가 되어 높이가 지름과 같은 형태가 최적이다. 이는 열린 원기둥의 최적 비율 $a = b$와 다르며, 윗면의 존재 여부가 최적 구조에 직접적인 영향을 줌을 보여준다. +셋째, 실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, 적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있으며, 향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 보다 정밀한 모델로 확장할 수 있을 것이다. -결론적으로, -고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 -최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, -이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다. +결론적으로, 고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, 이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다. + +\printbibliography \end{document} \ No newline at end of file diff --git a/latex/main.tex.backup b/latex/main.tex.backup new file mode 100644 index 0000000..526a66c --- /dev/null +++ b/latex/main.tex.backup @@ -0,0 +1,821 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{setspace} +\usepackage{kotex} +\usepackage[toc, page]{appendix} +\usepackage{hyperref} +\hypersetup{ + pdfborder={0 0 0} +} +\usepackage{float} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{siunitx} +\usepackage{graphicx} +\graphicspath{{images/}} +\usepackage[style=apa,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.18} + +\setlength{\parindent}{0pt} +\setlength{\parskip}{0.6em} +\doublespacing + +\begin{document} + +\begin{titlepage} + \centering + \vspace*{\fill} + {\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구} + + \vspace{2em} + + {\large 29페이지} + \vspace*{\fill} +\end{titlepage} + +\setcounter{page}{1} + +\newpage + +\tableofcontents + +\newpage + +\section{서론} + +본 연구는 3D 프린터로 정해진 필라멘트 양으로 최대한의 부피를 가진 컨테이너를 구하는 것에 대해 탐구한다. +본 저자는 평소 모델링이나 3D 프린팅에 관심이 많아 필요한 제품이 있을때 직접 디자인하여 출력하는 것을 좋아한다. +최근에는 로봇 개발을 위해 대량의 나사와 너트를 주문했다. +다양한 종류의 부품들이 비닐봉투에 담겨 왔다. +이들을 분류하여 정리하여 필요할때에 사용하기 위해 부품 종류별로 컨테이너를 만들기로 했다. +컨테이너를 디자인하는 것은 매우 쉽다. +그러나 적은 필라멘트로 최대 부피를 가진 컨테이너를 만들 수 있는 방안에 대해서는 생각해보지 않았다. +3D 프린팅을 자주하고 모델링이나 출력에 문제가 있는 경우 다시 출력해야하기 때문에 평소 필라멘트를 낭비하는 경우가 많았다. +이때문에 필라멘트를 자주 구매해야하기도 했으며, 환경에도 좋지 않았다. +따라서 정해진 필라멘트 양으로 최대 부피를 가진 컨테이너를 구하게 되었다. + +\section{연구 설계} + +본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다. + +해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다. + +이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다. +벽의 두께는 무시한다. + +그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은, +고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다. + +우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤, +밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다. + +겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다. + +\section{직육면체의 최적화} + +직육면체(윗면 없음)의 가로, 세로, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$로 둔다. +(이들은 모두 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$이다.) +그림 \ref{fig:cuboid}은 해당 직육면체를 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cuboid.png} + \caption{윗면이 없는 직육면체} + \label{fig:cuboid} +\end{figure} + +본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시), +컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다. + +윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다: + +\begin{equation} + S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca +\end{equation} + +따라서 제약조건은 +\begin{equation} + S(a, b, c) = k + \quad \Longleftrightarrow \quad + ab + 2c(a + b) = k + \label{eq:cuboid_constraint} +\end{equation} +이다. 한편 부피는 +\begin{equation} + V(a, b, c) = abc +\end{equation} +이다. + +\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거} + +밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다. +식 \ref{eq:cuboid_constraint}는 +\begin{equation} + p + 2c(a + b) = k +\end{equation} +이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면 +\begin{equation} + c = \frac{k - p}{2(a + b)} + \label{eq:cuboid_c} +\end{equation} +이다. 따라서 부피는 +\begin{equation} + V(a, b) = ab \cdot c + = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} + \label{eq:cuboid_volume} +\end{equation} +로 쓸 수 있다. + +\subsection{\texorpdfstring{극댓값에서 $a = b$인 이유}{극댓값에서 a = b인 이유}} + +이제 어떤 후보 $(a, b, c)$가 부피를 최대로 만드는 최적해라고 가정하자. +그 후보에서의 밑면 넓이 $p = ab$는 어떤 특정한 값 $p_0$를 갖는다. +이때 $p$가 동일한 다른 직사각형들(즉 $ab = p_0$인 다른 $(a, b)$)과 비교해도, 최적해라면 부피가 가장 커야한다. + +식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면, +\begin{equation*} + V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} +\end{equation*} +이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는 분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다. +그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해 +\begin{equation} + a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p} +\end{equation} +가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다. +따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며, +결국 최적해는 반드시 +\begin{equation} + a = b +\end{equation} +를 만족해야한다. + +\subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}} + +이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는 +\begin{equation} + V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} + = \frac{ka - a^3}{4} +\end{equation} +가 된다. + +최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면, +\begin{equation} + V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + a = \sqrt{\frac{k}{3}} +\end{equation} +이 된다. + +또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다. +따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로 +$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에, +$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다. + +\begin{figure}[H] + \centering + + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + variable=a, + domain=0:3, + samples=100, + axis lines=middle, + xlabel=$a$, ylabel=, + xtick=\empty, ytick=\empty, + ymin=-2, ymax=2, + legend style={draw=none, fill=none} + ] + \pgfmathsetmacro{\k}{5} + \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)} + + \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4}; + \addlegendentry{$f(a)$} + + \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)}; + \addlegendentry{$f'(a)$} + + \addplot[green] {-6/4*a}; + \addlegendentry{$f''(a)$} + + \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)}; + \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$} + \end{axis} + \end{tikzpicture} + + \caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프} + \label{fig:f_and_derivative} +\end{figure} + +도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면, +\begin{equation} + c = \frac{k - p}{2(a + b)} + = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}} + = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} + = \frac{1}{2} a +\end{equation} +이 된다. 따라서 최적 비율은 +\begin{equation} + \boxed{a = b = 2c} +\end{equation} +이다. + +마지막으로 최대 부피는 +\begin{equation} + V_{\max} = abc = a^2 c + =\left( \frac{k}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} \right) + =\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {3/2}. +\end{equation} +이 된다. + +\subsection{해석 및 다음 단계} + +직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다. +이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여, +변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다. + +\section{정다각형 기둥의 최적화} + +정다각형 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면의 한 변의 길이를 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 하고, 밑면의 변의 개수를 $n$이라 한다. +이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a>0$, $b>0$이며, 밑면은 최소 삼각형이므로 $n \geq 3$이다. +그림 \ref{fig:regular_polygon}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon.png} + \caption{윗면이 없는 정다각형 기둥} + \label{fig:regular_polygon} +\end{figure} + +정다각형 기둥 분석에서도 벽의 두께는 무시하며, 겉넓이는 상수 $k$로 고정한다. + +겉넓이와 부피를 계산하기에 앞서 밑변의 넓이를 $A$라 하자. +그림 \ref{fig:regular_polygon_top}과 같이, 변의 개수가 $n$개인 정다각형은 중심에서 각 꼭짓점으로 선을 그으면 +$n$개의 이등변삼각형으로 분할된다. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon_top.png} + \caption{정다각형 기둥 밑면} + \label{fig:regular_polygon_top} +\end{figure} + +각 이등변삼각형의 꼭짓각은 $\frac{2 \pi}{n}$이고, 밑변의 길이는 $a$이다. +이때 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 이등변삼각형을 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다. +이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는 +\begin{equation*} + \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}} +\end{equation*} +임을 구할 수 있다. + +따라서 각 이등변삼각형의 넓이는 +\begin{equation*} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}} + = \frac{a^2}{4 \tan{(\pi / n)}} +\end{equation*} +이다. + +이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는 +\begin{equation} + A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}} +\end{equation} +이 된다. + +이때 계산의 편의를 위해 +\begin{equation} + t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)} +\end{equation} +로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. +\begin{equation} + A = ta^2 + \label{eq:regular_polygon_A} +\end{equation} + + +다음으로 밑면의 둘레를 $P$라고 하자. $P$는 +\begin{equation} + P = na + \label{eq:regular_polygon_P} +\end{equation} +로 나타낼 수 있다. + +기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다. +\begin{equation} + S(a, b, n) = A + Pb +\end{equation} +따라서 제약조건은 +\begin{equation} + S(a, b, n) = k + \quad \Longleftrightarrow \quad + A + Pb = k + \label{eq:regular_polygon_constraint} +\end{equation} +이다. 한편 부피는 +\begin{equation} + V(a, b, n) = Ab + \label{eq:regular_polygon_v0} +\end{equation} +이다. + +\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거} + +식 \ref{eq:regular_polygon_constraint}을 $b$에 대해서 정리하면 +\begin{equation} + b = \frac{k - A}{P} + \label{eq:regular_polygon_b} +\end{equation} +가 된다. +이를 식 \ref{eq:regular_polygon_v0}에 대입하면 부피는 +\begin{equation} + V(a, n) = Ab = A \cdot \frac{k - A}{P} = \frac{t(ka - ta^3)}{n} + \label{eq:regular_polygon_v1} +\end{equation} +이 된다. + +본 문제는 원래 밑면의 변 길이 $a$, 변의 수 $n$, 높이 $b$의 세 변수로 기술된다. +그러나 제약조건 $A+Pb=k$를 $b$에 대해 풀어 $b=\frac{k-A}{P}$로 나타낸 뒤 이를 부피식에 대입했으므로, +$b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다. +결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다. + +따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다. +그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다. +즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, +먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수 +\[ + V_{n_0}(a):=V(a,n_0) +\] +를 최대화한다. + +\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}} + +$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, +\begin{equation} + V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right) +\end{equation} +는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다. +$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에 +\begin{equation} + V_{n_0}'(a)=0 +\end{equation} +이 성립해야 한다. +이를 계산하면, +\begin{equation} + V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) +\end{equation} +이므로, +\begin{equation} + \frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + k - 3ta^2 = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + a = \sqrt{\frac{k}{3t}}. + \label{eq:regular_polygon_a_opt} +\end{equation} +를 도출할 수 있다. + +또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는 +해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다. +\[ + V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0) +\] +이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다. +따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는 +\begin{equation} + a = \sqrt{\frac{k}{3t}} + \label{eq:regular_polygon_a} +\end{equation} +로 결정된다. + +\subsection{최적 조건에서의 A와 b} + +식 \ref{eq:regular_polygon_A}에 계산한 $a$값을 대입하면, +\begin{equation} + A = ta^2 = \frac{k}{3} +\end{equation} +이 된다. +$A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다. +이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어, +밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다. + +기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면, +\begin{equation} + b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P} +\end{equation} +가 된다. + +\subsection{최적 조건에서의 부피} + +기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는 +\begin{equation} + V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P} +\end{equation} +가 된다. + +여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다. +따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여 +\begin{equation} + V_{\max}(P) = \frac{C}{P} + \quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0) +\end{equation} +와 같은 형태를 가진다. + +함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로, +$P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다. +따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다. + +$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면 +\begin{equation} + P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}} +\end{equation} +이 된다. +이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다. + +$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어야 한다. +\begin{equation} + Q(n) = n \tan{(\pi / n)} \quad (n \geq 3) +\end{equation} +라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다. +여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다. +그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다. +이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다. + +$Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다. + +먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다. +$Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라 +\begin{equation} + Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right) +\end{equation} +가 된다. +이때 계산을 간단히 하기 위하여 +\begin{equation} + \theta=\frac{\pi}{n} +\end{equation} +이라 두면, +\begin{equation} + Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} +\end{equation} +로 표현할 수 있기에, +\begin{equation} + \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0 + \quad \Longrightarrow \quad + \sin{\theta} \cos{\theta} = \theta +\end{equation} + +배각공식에 따르면 +\begin{equation} + 2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta} + \quad \Longrightarrow \quad + \sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2} +\end{equation} +가 성립한다. + +따라서 극값이 존재하기 위해서는 +\begin{equation} + \theta = \frac{\sin 2\theta}{2} +\end{equation} +를 만족해야 한다. +이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다. +\begin{equation} + f(\theta) = \frac{\sin 2\theta}{2} - \theta + \quad (\theta \leq \frac{\pi}{3}) +\end{equation} +그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다. +이 함수의 도함수는 +\begin{equation} + f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1 +\end{equation} +이다. +삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며, +$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로 +\begin{equation} + f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0) +\end{equation} +가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다. +또한 +\begin{equation} + f(0) = 0 +\end{equation} +이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다. +그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해 +$\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며, +유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다. + +내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다. +본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다. +따라서 $Q(n)$의 정의역은 +\begin{equation} + \{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\} +\end{equation} +이다. + +이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 +\begin{equation} + Q(3) \simeq 5.196 +\end{equation} +이다. + +우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다. +이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 +\begin{equation} + u = \frac{1}{n} +\end{equation} +으로 정의하면, +\begin{equation} + \lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)} +\end{equation} +이 된다. 이를 계산하면 +\begin{equation} + \lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}} + = \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}} + = \pi \cdot 1 + = \pi +\end{equation} +이 된다. +$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다. +이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다. + +정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 +부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다. +따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다. + +\section{원기둥의 최적화} + +원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다. +이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다. +그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다. + +\begin{figure}[H] + \centering + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{cylinder.png} + \caption{윗면이 없는 원기둥} + \label{fig:cylinder} +\end{figure} + +윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다 +\begin{equation} + S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab +\end{equation} +겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은 +\begin{equation} + S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k + \label{eq:cylinder_constraint} +\end{equation} +이다. +부피는 +\begin{equation} + V(a, b) = \pi a^2 b + \label{eq:cylinder_V} +\end{equation} +이다. + +식 \ref{eq:cylinder_constraint}를 $b$에 대해 정리하면 +\begin{equation} + b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a} + \label{eq:cylinder_b} +\end{equation} +가 된다. +이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는 +\begin{equation} + V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2} +\end{equation} +이 된다. + +부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다. +도함수는 +\begin{equation} + V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2} +\end{equation} +이기에, +\begin{equation} + V'(a) = 0 + \quad \Longleftrightarrow \quad + \frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0 + \quad \Longleftrightarrow \quad + a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}} +\end{equation} +이다. +또한, +\begin{equation} + V''(a) = -3 \pi a +\end{equation} +로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다. + +이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면, +\begin{equation} + b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a} + = \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}} + = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}} +\end{equation} +가 된다. +따라서 최적 비율은 +\begin{equation} + \boxed{a = b} +\end{equation} +이다. + +최대 부피는 +\begin{equation} + V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2} +\end{equation} +이다. + +\section{n에 따른 변화} + +\begin{figure}[H] + \centering + + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}[ + axis lines=middle, + xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$, + legend style={draw=none, fill=none} + ] + + \pgfmathsetmacro{\k}{100} + + \foreach \n in {3,...,50} { + \addplot[ + only marks, + mark=*, + mark size=1.2pt + ] coordinates { + (\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))}) + }; + } + \addlegendentry{$V_{max}(n)$} + \end{axis} + \end{tikzpicture} + + \caption{함수 $V_{max}(n)$} + \label{fig:v_max_n} +\end{figure} + +그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 +변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다. +이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, +각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다. + +그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다. + +\begin{itemize} + \item $n$이 증가할수록 $V_{\max}(n)$은 단조 증가한다. + \item 증가량은 점점 감소하며, 특정 값에 점근적으로 수렴하는 형태를 보인다. +\end{itemize} + +이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다. +최대 부피는 +\begin{equation} + V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)} +\end{equation} +이며, 둘레는 +\begin{equation} + P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}} +\end{equation} +이므로, +\begin{equation} + V_{\max}(n) + = \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}} + = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}} +\end{equation} +로 나타낼 수 있다. + +따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수 +\begin{equation} + Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) +\end{equation} +의 변화에 의해 결정된다. + +앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며, +\begin{equation} + \lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi +\end{equation} +임을 보였다. +따라서 +\begin{equation} + \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n) + = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}} +\end{equation} +가 된다. + +이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다. + +또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 +$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다. +즉, +\begin{equation} + \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n} + \quad (n \to \infty) +\end{equation} +이므로, +\begin{equation} + Q(n) \approx \pi +\end{equation} +로 빠르게 수렴하게 되고, +이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다. + +기하학적으로 해석하면, +정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, +같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다. +이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, +결과적으로 부피가 증가하게 된다. + +그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 +정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에, +부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다. +이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다. + +따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 +$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, +그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다. + +\section{결론} + +본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 +최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다. +이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 +가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다. + +먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다. +겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 +부피 $V=abc$를 최대화한 결과, +\[ + a=b=2c +\] +일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다. +즉, 밑면은 정사각형이 되며, +높이는 밑변 길이의 절반이 된다. +또한 이때 밑면의 넓이는 항상 +\[ + A=\frac{k}{3} +\] +이 됨을 확인하였다. + +이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다. +제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 +부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, +고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다. +그 결과, +\[ + a=\sqrt{\frac{k}{3t}} +\] +이며, 이때 역시 밑면의 넓이는 +\[ + A=\frac{k}{3} +\] +이 됨을 확인하였다. +이는 밑면의 형태와 무관하게 +최대 부피를 가지는 경우에는 +전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, +$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다. + +다음으로 부피 최대화를 위해서는 +둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, +이를 위해 함수 +\[ + Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) +\] +을 분석하였다. +내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, +경계 분석을 통해 +\[ + \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi +\] +임을 도출하였다. +이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, +그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다. + +따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 +최대 부피를 가지는 도형은 +밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다. +이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 +원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다. + +본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다. + +\begin{itemize} + \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다. + \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다. + \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, + 원기둥이 최적 구조가 된다. +\end{itemize} + +이 결과는 기하학적 대칭성이 +최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다. +대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 +더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다. + +다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고 +겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. +실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, +적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다. +향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 +보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다. + +결론적으로, +고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 +최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, +이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다. + +\end{document} \ No newline at end of file