final

latex/main.tex

@@ -1,4 +1,6 @@
-\documentclass{article}
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage[a4paper, margin=2.5cm]{geometry}
+\usepackage{setspace}
 \usepackage{kotex}
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@@ -14,20 +16,28 @@
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-\linespread{1.08}
+\doublespacing
-
-\title{고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
-\author{이승준}
-\date{\today}
 
 \begin{document}
 
-\maketitle
+\begin{titlepage}
+    \centering
+    \vspace*{\fill}
+    {\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
+
+    \vspace{2em}
+
+    {\large 20페이지}
+    \vspace*{\fill}
+\end{titlepage}
+
+\setcounter{page}{1}
 
 \newpage
 
@@ -50,20 +60,13 @@
 
 \section{연구 설계}
 
-본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다.
+본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이며, 해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
-
+이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례하며, 벽의 두께는 무시한다.
-해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
+그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은, 고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
-
-이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다.
-벽의 두께는 무시한다.
-
-그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은,
-고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
-
-우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤,
-밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
 
+우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤, 밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
 겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다.
+처음에는 변의 수가 많은 정다각형일수록 부피가 더 클 것이라 직관적으로 예상하였다. 이 탐구에서는 그 예상이 수학적으로 타당한지를 검증하고, 나아가 어떤 도형이 진정한 최적인지를 엄밀하게 밝힌다.
 
 \section{직육면체의 최적화}
 
@@ -81,11 +84,11 @@
 본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
 컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
 
-윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
+윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
 
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
-\end{equation}
+\end{equation*}
 
 따라서 제약조건은
 \begin{equation}
@@ -94,19 +97,19 @@
     ab + 2c(a + b) = k
     \label{eq:cuboid_constraint}
 \end{equation}
-이다. 한편 부피는
+이다. 한편 부피 $V$는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     V(a, b, c) = abc
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이다.
 
 \subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
 
 밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
 식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     p + 2c(a + b) = k
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
 \begin{equation}
     c = \frac{k - p}{2(a + b)}
@@ -128,42 +131,63 @@
 
 식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면,
 \begin{equation*}
-    V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+    V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)} = \frac{p \cdot (k - p)}{2(a + b)}
 \end{equation*}
-이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는  분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
+분자 부분이 상수가 된다. 따라서 $V$를 크게 만들기 위해서는  분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
 그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다.
 따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며,
-결국 최적해는 반드시
+결국 최적해는 반드시 $a = b$를 만족해야한다.
-\begin{equation}
+
-    a = b
+위에서 사용한 산술기하 평균(AM-GM) 방법 외에 편미분을 이용하는 방법으로도 $a = b$를 도출할 수 있다.
-\end{equation}
+편미분(partial derivative)이란 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서, 나머지 변수를 모두 상수로 고정하고 특정 변수 하나에 대해서만 미분하는 것을 의미한다.
-를 만족해야한다.
+예를 들어 $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$에서 $y$를 상수로 취급하고 $x$에 대해 미분하면
+\begin{equation*}
+    \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2
+\end{equation*}
+이 된다.
+
+식 \ref{eq:cuboid_volume}의 부피 $V(a, b) = \dfrac{ab(k - ab)}{2(a+b)}$에 편미분을 적용하면,
+$b$를 상수로 두고 $a$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial a} = 0$을 정리하면
+\begin{equation*}
+    \frac{\partial V}{\partial a} = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    k = a^2 + 2ab
+\end{equation*}
+가 되고, 대칭적으로 $a$를 상수로 두고 $b$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial b} = 0$을 정리하면
+\begin{equation*}
+    \frac{\partial V}{\partial b} = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    k = 2ab + b^2
+\end{equation*}
+가 된다. 두 식을 연립하면 $a^2 = b^2$, 즉 $a = b$ ($a, b > 0$)가 도출된다.
+
+이처럼 편미분을 이용한 접근은 두 방정식을 연립하여 $a = b$를 직접 이끌어 낸다. 반면 AM-GM 방법은 "분모 $(a+b)$를 최소화한다"는 기하학적 직관을 바탕으로 등호 성립 조건을 바로 읽어낸다는 장점이 있다. 두 방법 모두 같은 결론에 이르지만, AM-GM은 왜 $a = b$여야 하는지를 보다 직관적으로 설명해 준다.
 
 \subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}}
 
 이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
     = \frac{ka - a^3}{4}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 가 된다.
 
 최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0
     \quad \Longrightarrow \quad
     a = \sqrt{\frac{k}{3}}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 된다.
 
 또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다.
-따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로
+따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) > 0$임으로
-$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에,
+$V(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $V'(a) < 0$임으로 $V(a)$가 감소하기 때문에,
-$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
+$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
 
 \begin{figure}[H]
     \centering
@@ -183,30 +207,30 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
             \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
 
             \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4};
-            \addlegendentry{$f(a)$}
+            \addlegendentry{$V(a)$}
 
             \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)};
-            \addlegendentry{$f'(a)$}
+            \addlegendentry{$V'(a)$}
 
             \addplot[green] {-6/4*a};
-            \addlegendentry{$f''(a)$}
+            \addlegendentry{$V''(a)$}
 
             \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)};
             \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$}
         \end{axis}
     \end{tikzpicture}
 
-    \caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
+    \caption{함수 $V(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
     \label{fig:f_and_derivative}
 \end{figure}
 
 도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     c = \frac{k - p}{2(a + b)}
     = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}}
     = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}}
     = \frac{1}{2} a
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 된다. 따라서 최적 비율은
 \begin{equation}
     \boxed{a = b = 2c}
@@ -221,11 +245,14 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
 \end{equation}
 이 된다.
 
+직관적으로 정육면체(높이와 밑변이 같은 경우)가 부피를 최대화할 것이라 예상하였으나, 윗면이 없는 조건으로 인해 높이 $c$가 밑변 $a$의 절반이 되는 형태가 최적임을 알 수 있었다. 이는 윗면이 없어 절약된 겉넓이를 밑면 확장에 더 유리하게 사용할 수 있기 때문으로 해석된다.
+
 \subsection{해석 및 다음 단계}
 
 직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다.
 이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여,
 변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다.
+이때 변이 많아질수록 밑면이 원에 가까워지므로, 부피가 단조 증가하여 원기둥이 최적일 것이라 예상하였다. 이를 수학적으로 엄밀히 확인한다.
 
 \section{정다각형 기둥의 최적화}
 
@@ -269,15 +296,15 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
 이다.
 
 이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 된다.
 
-이때 계산의 편의를 위해
+이때 계산의 편의를 위해 ($t$는 $n$에 따라 결정되는 양수 상수이다)
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
 \begin{equation}
     A = ta^2
@@ -292,10 +319,10 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
 \end{equation}
 로 나타낼 수 있다.
 
-기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다.
+기둥의 겉넓이 $S$는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이 $Pb$의 합이다.
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     S(a, b, n) = A + Pb
-\end{equation}
+\end{equation*}
 따라서 제약조건은
 \begin{equation}
     S(a, b, n) = k
@@ -303,7 +330,7 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
     A + Pb = k
     \label{eq:regular_polygon_constraint}
 \end{equation}
-이다. 한편 부피는
+이다. 한편 부피 $V$는
 \begin{equation}
     V(a, b, n) = Ab
     \label{eq:regular_polygon_v0}
@@ -331,9 +358,8 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
 결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다.
 
 따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
-그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
+우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
-즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때,
+즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
-먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
 \[
     V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
 \]
@@ -341,43 +367,15 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
 
 \subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
 
-$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며,
+$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며, $V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0}(ka - ta^3)$는 $a$에 대한 함수가 된다.
+앞서 직육면체에서와 동일한 방법으로 $V_{n_0}'(a)=0$을 풀면,
 \begin{equation}
-    V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right)
+    \frac{t}{n_0}(k - 3ta^2) = 0
-\end{equation}
-는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다.
-$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에
-\begin{equation}
-    V_{n_0}'(a)=0
-\end{equation}
-이 성립해야 한다.
-이를 계산하면,
-\begin{equation}
-    V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right)
-\end{equation}
-이므로,
-\begin{equation}
-    \frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0
     \quad \Longrightarrow \quad
-    k - 3ta^2 = 0
-    \quad \Longrightarrow \quad
-    a = \sqrt{\frac{k}{3t}}.
-    \label{eq:regular_polygon_a_opt}
-\end{equation}
-를 도출할 수 있다.
-
-또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는
-해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다.
-\[
-    V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
-\]
-이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다.
-따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
-\begin{equation}
     a = \sqrt{\frac{k}{3t}}
     \label{eq:regular_polygon_a}
 \end{equation}
-로 결정된다.
+이 된다. 또한 $V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta)<0$ ($a>0$)이므로 이 임계점이 최댓값임을 알 수 있다.
 
 \subsection{최적 조건에서의 A와 b}
 
@@ -389,27 +387,32 @@ $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의
 $A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다.
 이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어,
 밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
+이 결과는 처음에 예상하지 못한 것이었다. 밑면의 형태가 삼각형이든 정사각형이든 원이든 관계없이, 최대 부피 조건에서는 겉넓이의 정확히 $\frac{1}{3}$이 항상 밑면에 배분된다는 보편적 원리가 성립함을 발견하였다.
 
 기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
+\end{equation*}
+가 된다. 따라서 최대 부피 조건에서의 밑면 넓이와 높이를 정리하면
+\begin{equation}
+    \boxed{A = \frac{k}{3}, \quad b = \frac{2k}{3P}}
 \end{equation}
-가 된다.
+이다.
 
 \subsection{최적 조건에서의 부피}
 
 기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는
 \begin{equation}
-    V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
+    V_{\max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
 \end{equation}
 가 된다.
 
 여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
 따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
-    \quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0)
+    \quad \left(C = \frac{2k^2}{9} > 0\right)
-\end{equation}
+\end{equation*}
 와 같은 형태를 가진다.
 
 함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
@@ -417,9 +420,9 @@ $P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
 따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다.
 
 $P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 된다.
 이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
 
@@ -430,43 +433,35 @@ $P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어
 라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
 여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
 그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다.
-이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
+이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 추후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
+
+이 방법이 유효하려면 연속 범위에서 도출한 단조성이 이산적인 정수 범위에서도 동일하게 유지되어야 한다. 만약 $Q(n)$이 $n > 2$인 실수 범위에서 극값을 가진다면, 연속 분석에서 얻은 단조 감소 결론이 정수 $n$에는 적용되지 않을 수 있다. 그러나 본 탐구에서는 $Q'(n) < 0$을 모든 $n > 2$에 대해 엄밀히 증명하였으므로, 이 방법의 적용이 정당화된다.
 
 $Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다.
 
 먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다.
 $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     Q'(n)  = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
-\end{equation}
+\end{equation*}
 가 된다.
-이때 계산을 간단히 하기 위하여
+이때 계산을 간단히 하기 위하여 $\theta=\frac{\pi}{n}$이라 두면,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
-    \theta=\frac{\pi}{n}
-\end{equation}
-이라 두면,
-\begin{equation}
     Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 로 표현할 수 있기에,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
     \quad \Longrightarrow \quad
     \sin{\theta} \cos{\theta} = \theta
-\end{equation}
+\end{equation*}
 
-배각공식에 따르면
+배각공식 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$에 따르면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$가 성립한다.
-\begin{equation}
-    2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta}
-    \quad \Longrightarrow \quad
-    \sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2}
-\end{equation}
-가 성립한다.
 
 따라서 극값이 존재하기 위해서는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 를 만족해야 한다.
 이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
 \begin{equation}
@@ -474,50 +469,27 @@ $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
     \quad (\theta \leq \frac{\pi}{3})
 \end{equation}
 그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다.
-이 함수의 도함수는
+이 함수의 도함수는 $f'(\theta) = \cos 2\theta - 1$이다.
-\begin{equation}
+삼각함수의 성질에 의해 $\cos 2\theta \leq 1$이며, $\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로 $f'(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
-    f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1
+또한 $f(0) = 0$이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
-\end{equation}
-이다.
-삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며,
-$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로
-\begin{equation}
-    f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0)
-\end{equation}
-가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
-또한
-\begin{equation}
-    f(0) = 0
-\end{equation}
-이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
 그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해
 $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
 유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다.
 
+더 나아가, 위에서 $f(\theta) < 0$ ($\theta > 0$)임을 보였으므로 $\sin\theta\cos\theta < \theta$가 성립한다. 이를 이용하면
+\begin{equation*}
+    Q'(n) = \tan\theta - \theta\sec^2\theta = \frac{\sin\theta\cos\theta - \theta}{\cos^2\theta} < 0
+\end{equation*}
+임을 직접 확인할 수 있다. 분자 $\sin\theta\cos\theta - \theta < 0$이고 분모 $\cos^2\theta > 0$이므로, $Q(n)$은 $n \geq 3$ 전체에서 순감소 함수이다.
+
 내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다.
 본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
-따라서 $Q(n)$의 정의역은
+따라서 $Q(n)$의 정의역은 $\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}$이다.
-\begin{equation}
-    \{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}
-\end{equation}
-이다.
 
-이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은
+이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 $Q(3) \simeq 5.196$이다.
-\begin{equation}
-    Q(3) \simeq 5.196
-\end{equation}
-이다.
 
 우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
-이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에
+이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 $u = \frac{1}{n}$으로 정의하면 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \lim_{u \to 0}Q(u)$이 된다. 이를 계산하면
-\begin{equation}
-    u = \frac{1}{n}
-\end{equation}
-으로 정의하면,
-\begin{equation}
-    \lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)}
-\end{equation}
-이 된다. 이를 계산하면
 \begin{equation}
     \lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
     = \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
@@ -528,13 +500,14 @@ $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
 $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
 이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
 
-정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에
+정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
-부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
 따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다.
 
 \section{원기둥의 최적화}
 
-원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
+앞서 정다각형 분석에서 $Q(n)$이 순감소하며 $V_{\max}(n)$이 단조 증가함을 보였고, 그 극한이 $\frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3\pi}}$임을 확인하였다. 이제 극한의 도형인 원기둥의 최대 부피를 직접 계산하여 이 값과 일치하는지 검증한다.
+
+원기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
 이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
 그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
 
@@ -545,17 +518,17 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
     \label{fig:cylinder}
 \end{figure}
 
-윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다
+윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 밑면과 옆면의 합이다:
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
-\end{equation}
+\end{equation*}
-겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
+겉넓이는 $k$로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
 \begin{equation}
-    S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k
+    S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \quad \pi a^2 + 2 \pi ab = k
     \label{eq:cylinder_constraint}
 \end{equation}
 이다.
-부피는
+한편 부피 $V$는
 \begin{equation}
     V(a, b) = \pi a^2 b
     \label{eq:cylinder_V}
@@ -569,37 +542,25 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
 \end{equation}
 가 된다.
 이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 이 된다.
 
-부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다.
+앞서와 동일한 방법으로 $V'(a)=0$을 풀면,
-도함수는
+\begin{equation*}
-\begin{equation}
-    V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2}
-\end{equation}
-이기에,
-\begin{equation}
-    V'(a) = 0
-    \quad \Longleftrightarrow \quad
     \frac{k - 3\pi a^2}{2} = 0
-    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    \quad \Longrightarrow \quad
     a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}}
-\end{equation}
+\end{equation*}
-이다.
+이 된다. $V''(a) = -3\pi a < 0$ ($a > 0$)이므로 이 임계점이 최댓값이다.
-또한,
-\begin{equation}
-    V''(a) = -3 \pi a
-\end{equation}
-로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다.
 
 이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면,
-\begin{equation}
+\begin{equation*}
     b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
     = \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}}
     = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
-\end{equation}
+\end{equation*}
 가 된다.
 따라서 최적 비율은
 \begin{equation}
@@ -609,7 +570,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
 
 최대 부피는
 \begin{equation}
-    V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
+    V_{\max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
 \end{equation}
 이다.
 
@@ -621,7 +582,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
     \begin{tikzpicture}
         \begin{axis}[
                 axis lines=middle,
-                xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$,
+                xlabel=$n$, ylabel=$V_{\max}$,
                 legend style={draw=none, fill=none}
             ]
 
@@ -636,30 +597,64 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
                             (\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))})
                         };
                 }
-            \addlegendentry{$V_{max}(n)$}
+            \addlegendentry{$V_{\max}(n)$}
         \end{axis}
     \end{tikzpicture}
 
-    \caption{함수 $V_{max}(n)$}
+    \caption{함수 $V_{\max}(n)$}
     \label{fig:v_max_n}
 \end{figure}
 
+그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
+이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, 각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
+
+그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
+
+\begin{itemize}
+    \item $n$이 증가할수록 $V_{\max}(n)$은 단조 증가한다.
+    \item 증가량은 점점 감소하며, 특정 값에 점근적으로 수렴하는 형태를 보인다.
+\end{itemize}
+
+이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
+앞서 도출한 $V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}$과 $P(n) = 2\sqrt{\frac{kn\tan(\pi/n)}{3}}$를 결합하면,
+\begin{equation*}
+    V_{\max}(n) = \frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{Q(n)}}
+\end{equation*}
+로 나타낼 수 있다. 따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 $Q(n) = n\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$의 변화에 의해 결정된다.
+
+앞서 $Q(n)$이 순감소하며 $\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi$임을 보였다. 따라서
+\begin{equation*}
+    \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
+    = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
+\end{equation*}
+가 된다.
+
+이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
+이러한 일치는 정다각형이 $n \to \infty$일 때 원으로 수렴한다는 기하학적 사실의 수학적 표현이다. 탐구 초반에 세운 예상—변이 많을수록 부피가 크고 원기둥이 최적—이 극한 분석과 원기둥 직접 계산 모두에서 일관되게 검증된 셈이다.
+
+또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 $\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
+즉, $\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$ ($n \to \infty$)이므로 $Q(n) \approx \pi$로 빠르게 수렴하게 되고, 이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
+
+기하학적으로 해석하면, 정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, 같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
+이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, 결과적으로 부피가 증가하게 된다.
+
+그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는 정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에, 부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
+이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다.
+
+따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는 $n$이 증가함에 따라 단조 증가하며, 그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
+
 \section{결론}
 
-본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서
+본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서 최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
-최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
+이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
-이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때
-가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
 
 먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
-겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서
+겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
-부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
 \[
     a=b=2c
 \]
 일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
-즉, 밑면은 정사각형이 되며,
+즉, 밑면은 정사각형이 되며, 높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
-높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
 또한 이때 밑면의 넓이는 항상
 \[
     A=\frac{k}{3}
@@ -667,9 +662,7 @@ A=\frac{k}{3}
 이 됨을 확인하였다.
 
 이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
-제약조건을 이용하여 높이를 소거하고
+제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, 고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
-부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤,
-고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
 그 결과,
 \[
     a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
@@ -679,57 +672,108 @@ a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
     A=\frac{k}{3}
 \]
 이 됨을 확인하였다.
-이는 밑면의 형태와 무관하게
+이는 밑면의 형태와 무관하게, 최대 부피를 가지는 경우에는 전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, $\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
-최대 부피를 가지는 경우에는
-전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에,
-$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
 
-다음으로 부피 최대화를 위해서는
+다음으로 부피 최대화를 위해서는 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, 이를 위해 함수
-둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
-이를 위해 함수
 \[
     Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
 \]
 을 분석하였다.
-내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고,
+내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 경계 분석을 통해
-경계 분석을 통해
 \[
     \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
 \]
 임을 도출하였다.
-이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며,
+이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, 그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
-그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
 
-따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서
+따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 최대 부피를 가지는 도형은 밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
-최대 부피를 가지는 도형은
+이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때 원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
-밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
+
-이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때
+세 도형에 대한 최적 조건과 최대 부피를 표 \ref{tab:summary}에 정리한다.
-원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
+
+\begin{table}[H]
+    \centering
+    \begin{tabular}{@{}lccc@{}}
+        \toprule
+        도형 & 최적 비율 & 밑면 넓이 & 최대 부피 \\
+        \midrule
+        직육면체 & $a = b = 2c$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{k}{3}\right)^{\!3/2}$ \\[8pt]
+        정$n$각형 기둥 & $A = \dfrac{k}{3},\; b = \dfrac{2k}{3P}$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{2k^2}{9P(n)}$ \\[8pt]
+        원기둥 & $a = b$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\pi\!\left(\dfrac{k}{3\pi}\right)^{\!3/2}$ \\
+        \bottomrule
+    \end{tabular}
+    \caption{도형별 최대 부피 조건 비교}
+    \label{tab:summary}
+\end{table}
+
+표에서 밑면 넓이가 세 경우 모두 $\frac{k}{3}$로 동일함을 한눈에 확인할 수 있다.
+
+\subsection*{구체적 수치 예시}
+
+탐구의 출발점인 3D 프린팅 상황에 실제 수치를 대입하여 결과를 구체적으로 확인한다.
+필라멘트 양이 겉넓이 $k = 600\,\text{cm}^2$에 해당한다고 하자.
+
+\textbf{원기둥:}
+\begin{equation*}
+    a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}} = \sqrt{\frac{600}{3\pi}} \approx 7.98\,\text{cm}, \qquad b = a \approx 7.98\,\text{cm}
+\end{equation*}
+\begin{equation*}
+    V_{\max} = \pi a^3 = \pi\!\left(\frac{600}{3\pi}\right)^{\!3/2} \approx 1596\,\text{cm}^3
+\end{equation*}
+
+\textbf{직육면체:}
+\begin{equation*}
+    a = b = \sqrt{\frac{k}{3}} = \sqrt{200} \approx 14.14\,\text{cm}, \qquad c = \frac{a}{2} \approx 7.07\,\text{cm}
+\end{equation*}
+\begin{equation*}
+    V_{\max} = a^2 c = \frac{1}{2}\!\left(\frac{k}{3}\right)^{\!3/2} \approx 1414\,\text{cm}^3
+\end{equation*}
+
+정$n$각형 기둥의 경우 $n = 3, 4, 6$ 및 원기둥에 대한 결과를 표 \ref{tab:numerical}에 정리한다.
+이때 모든 경우에서 밑면 넓이 $A = k/3 = 200\,\text{cm}^2$로 일정하다.
+
+\begin{table}[H]
+    \centering
+    \begin{tabular}{@{}ccccc@{}}
+        \toprule
+        $n$ & 밑면 & $a\,(\text{cm})$ & $b\,(\text{cm})$ & $V_{\max}\,(\text{cm}^3)$ \\
+        \midrule
+        3           & 정삼각형 & 21.49 & 6.20 & 1241 \\
+        4           & 정사각형 & 14.14 & 7.07 & 1414 \\
+        6           & 정육각형 &  8.77 & 7.60 & 1520 \\
+        $\infty$ & 원       &  7.98 & 7.98 & 1596 \\
+        \bottomrule
+    \end{tabular}
+    \caption{$k = 600\,\text{cm}^2$일 때 정$n$각형 기둥의 최적 치수 및 최대 부피}
+    \label{tab:numerical}
+\end{table}
+
+$n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값에 수렴함을 수치로 확인할 수 있다.
+직육면체($n = 4$)와 원기둥을 비교하면 같은 필라멘트 양으로 약 $\frac{1596 - 1414}{1414} \approx 12.9\%$ 더 큰 부피를 얻을 수 있다.
+이는 소규모 부품 정리 컨테이너를 설계할 때 밑면 형태의 선택이 실질적인 차이를 만들어냄을 보여준다.
 
 본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
 
 \begin{itemize}
     \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
     \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
-\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
+    \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, 원기둥이 최적 구조가 된다.
-      원기둥이 최적 구조가 된다.
 \end{itemize}
 
-이 결과는 기하학적 대칭성이
+이 결과는 기하학적 대칭성이 최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
-최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
+대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
-대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로
-더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
 
-다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고
+다만 본 연구에는 몇 가지 한계와 확장 가능성이 있다.
-겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다.
+첫째, 벽 두께를 무시하여 겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. 실제 3D 프린팅에서는 일정한 벽 두께가 유지되므로, 도형의 모서리나 꼭짓점 처리 방식에 따라 필라멘트 사용량 계산이 달라질 수 있다.
-실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도,
+둘째, 본 연구는 윗면이 없는 기둥에 한정되었다. 윗면이 있는 닫힌 원기둥의 경우 겉넓이 공식이 $S = 2\pi a^2 + 2\pi ab$로 바뀌며, 동일한 방법으로 최적화하면
-적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다.
+\[
-향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여
+    V'(a) = \frac{k}{2} - 3\pi a^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = \sqrt{\frac{k}{6\pi}}, \quad b = 2a
-보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다.
+\]
+가 되어 높이가 지름과 같은 형태가 최적이다. 이는 열린 원기둥의 최적 비율 $a = b$와 다르며, 윗면의 존재 여부가 최적 구조에 직접적인 영향을 줌을 보여준다.
+셋째, 실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도, 적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있으며, 향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여 보다 정밀한 모델로 확장할 수 있을 것이다.
 
-결론적으로,
+결론적으로, 고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, 이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
-고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중
+
-최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며,
+\printbibliography
-이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
 
 \end{document}

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@@ -0,0 +1,821 @@
+\documentclass[11pt]{article}
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+    pdfborder={0 0 0}
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+
+\usepackage{pgfplots}
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+
+\setlength{\parindent}{0pt}
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+\doublespacing
+
+\begin{document}
+
+\begin{titlepage}
+    \centering
+    \vspace*{\fill}
+    {\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
+
+    \vspace{2em}
+
+    {\large 29페이지}
+    \vspace*{\fill}
+\end{titlepage}
+
+\setcounter{page}{1}
+
+\newpage
+
+\tableofcontents
+
+\newpage
+
+\section{서론}
+
+본 연구는 3D 프린터로 정해진 필라멘트 양으로 최대한의 부피를 가진 컨테이너를 구하는 것에 대해 탐구한다.
+본 저자는 평소 모델링이나 3D 프린팅에 관심이 많아 필요한 제품이 있을때 직접 디자인하여 출력하는 것을 좋아한다.
+최근에는 로봇 개발을 위해 대량의 나사와 너트를 주문했다.
+다양한 종류의 부품들이 비닐봉투에 담겨 왔다.
+이들을 분류하여 정리하여 필요할때에 사용하기 위해 부품 종류별로 컨테이너를 만들기로 했다.
+컨테이너를 디자인하는 것은 매우 쉽다.
+그러나 적은 필라멘트로 최대 부피를 가진 컨테이너를 만들 수 있는 방안에 대해서는 생각해보지 않았다.
+3D 프린팅을 자주하고 모델링이나 출력에 문제가 있는 경우 다시 출력해야하기 때문에 평소 필라멘트를 낭비하는 경우가 많았다.
+이때문에 필라멘트를 자주 구매해야하기도 했으며, 환경에도 좋지 않았다.
+따라서 정해진 필라멘트 양으로 최대 부피를 가진 컨테이너를 구하게 되었다.
+
+\section{연구 설계}
+
+본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다.
+
+해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
+
+이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다.
+벽의 두께는 무시한다.
+
+그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은,
+고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
+
+우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤,
+밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
+
+겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다.
+
+\section{직육면체의 최적화}
+
+직육면체(윗면 없음)의 가로, 세로, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$로 둔다.
+(이들은 모두 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$이다.)
+그림 \ref{fig:cuboid}은 해당 직육면체를 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cuboid.png}
+    \caption{윗면이 없는 직육면체}
+    \label{fig:cuboid}
+\end{figure}
+
+본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
+컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
+
+윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
+
+\begin{equation}
+    S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
+\end{equation}
+
+따라서 제약조건은
+\begin{equation}
+    S(a, b, c) = k
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    ab + 2c(a + b) = k
+    \label{eq:cuboid_constraint}
+\end{equation}
+이다. 한편 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b, c) = abc
+\end{equation}
+이다.
+
+\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
+
+밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
+식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
+\begin{equation}
+    p + 2c(a + b) = k
+\end{equation}
+이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
+\begin{equation}
+    c = \frac{k - p}{2(a + b)}
+    \label{eq:cuboid_c}
+\end{equation}
+이다. 따라서 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b) = ab \cdot c
+    = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+    \label{eq:cuboid_volume}
+\end{equation}
+로 쓸 수 있다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{극댓값에서 $a = b$인 이유}{극댓값에서 a = b인 이유}}
+
+이제 어떤 후보 $(a, b, c)$가 부피를 최대로 만드는 최적해라고 가정하자.
+그 후보에서의 밑면 넓이 $p = ab$는 어떤 특정한 값 $p_0$를 갖는다.
+이때 $p$가 동일한 다른 직사각형들(즉 $ab = p_0$인 다른 $(a, b)$)과 비교해도, 최적해라면 부피가 가장 커야한다.
+
+식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면,
+\begin{equation*}
+    V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+\end{equation*}
+이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는  분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
+그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해
+\begin{equation}
+    a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p}
+\end{equation}
+가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다.
+따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며,
+결국 최적해는 반드시
+\begin{equation}
+    a = b
+\end{equation}
+를 만족해야한다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}}
+
+이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는
+\begin{equation}
+    V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+    = \frac{ka - a^3}{4}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면,
+\begin{equation}
+    V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    a = \sqrt{\frac{k}{3}}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다.
+따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로
+$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에,
+$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[
+                variable=a,
+                domain=0:3,
+                samples=100,
+                axis lines=middle,
+                xlabel=$a$, ylabel=,
+                xtick=\empty, ytick=\empty,
+                ymin=-2, ymax=2,
+                legend style={draw=none, fill=none}
+            ]
+            \pgfmathsetmacro{\k}{5}
+            \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
+
+            \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4};
+            \addlegendentry{$f(a)$}
+
+            \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)};
+            \addlegendentry{$f'(a)$}
+
+            \addplot[green] {-6/4*a};
+            \addlegendentry{$f''(a)$}
+
+            \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)};
+            \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$}
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+
+    \caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
+    \label{fig:f_and_derivative}
+\end{figure}
+
+도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면,
+\begin{equation}
+    c = \frac{k - p}{2(a + b)}
+    = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}}
+    = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}}
+    = \frac{1}{2} a
+\end{equation}
+이 된다. 따라서 최적 비율은
+\begin{equation}
+    \boxed{a = b = 2c}
+\end{equation}
+이다.
+
+마지막으로 최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{\max} = abc = a^2 c
+    =\left( \frac{k}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} \right)
+    =\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {3/2}.
+\end{equation}
+이 된다.
+
+\subsection{해석 및 다음 단계}
+
+직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다.
+이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여,
+변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다.
+
+\section{정다각형 기둥의 최적화}
+
+정다각형 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면의 한 변의 길이를 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 하고, 밑면의 변의 개수를 $n$이라 한다.
+이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a>0$, $b>0$이며, 밑면은 최소 삼각형이므로 $n \geq 3$이다.
+그림 \ref{fig:regular_polygon}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon.png}
+    \caption{윗면이 없는 정다각형 기둥}
+    \label{fig:regular_polygon}
+\end{figure}
+
+정다각형 기둥 분석에서도 벽의 두께는 무시하며, 겉넓이는 상수 $k$로 고정한다.
+
+겉넓이와 부피를 계산하기에 앞서 밑변의 넓이를 $A$라 하자.
+그림 \ref{fig:regular_polygon_top}과 같이, 변의 개수가 $n$개인 정다각형은 중심에서 각 꼭짓점으로 선을 그으면
+$n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon_top.png}
+    \caption{정다각형 기둥 밑면}
+    \label{fig:regular_polygon_top}
+\end{figure}
+
+각 이등변삼각형의 꼭짓각은 $\frac{2 \pi}{n}$이고, 밑변의 길이는 $a$이다.
+이때 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 이등변삼각형을 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.
+이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는
+\begin{equation*}
+    \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation*}
+임을 구할 수 있다.
+
+따라서 각 이등변삼각형의 넓이는
+\begin{equation*}
+    \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
+    = \frac{a^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation*}
+이다.
+
+이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
+\begin{equation}
+    A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+이때 계산의 편의를 위해
+\begin{equation}
+    t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
+\end{equation}
+로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
+\begin{equation}
+    A = ta^2
+    \label{eq:regular_polygon_A}
+\end{equation}
+
+
+다음으로 밑면의 둘레를 $P$라고 하자. $P$는
+\begin{equation}
+    P = na
+    \label{eq:regular_polygon_P}
+\end{equation}
+로 나타낼 수 있다.
+
+기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다.
+\begin{equation}
+    S(a, b, n) = A + Pb
+\end{equation}
+따라서 제약조건은
+\begin{equation}
+    S(a, b, n) = k
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    A + Pb = k
+    \label{eq:regular_polygon_constraint}
+\end{equation}
+이다. 한편 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b, n) = Ab
+    \label{eq:regular_polygon_v0}
+\end{equation}
+이다.
+
+\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
+
+식 \ref{eq:regular_polygon_constraint}을 $b$에 대해서 정리하면
+\begin{equation}
+    b = \frac{k - A}{P}
+    \label{eq:regular_polygon_b}
+\end{equation}
+가 된다.
+이를 식 \ref{eq:regular_polygon_v0}에 대입하면 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, n) = Ab = A \cdot \frac{k - A}{P} = \frac{t(ka - ta^3)}{n}
+    \label{eq:regular_polygon_v1}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+본 문제는 원래 밑면의 변 길이 $a$, 변의 수 $n$, 높이 $b$의 세 변수로 기술된다.
+그러나 제약조건 $A+Pb=k$를 $b$에 대해 풀어 $b=\frac{k-A}{P}$로 나타낸 뒤 이를 부피식에 대입했으므로,
+$b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
+결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다.
+
+따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
+그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
+즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때,
+먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
+\[
+    V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
+\]
+를 최대화한다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
+
+$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며,
+\begin{equation}
+    V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right)
+\end{equation}
+는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다.
+$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에
+\begin{equation}
+    V_{n_0}'(a)=0
+\end{equation}
+이 성립해야 한다.
+이를 계산하면,
+\begin{equation}
+    V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right)
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    \frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    k - 3ta^2 = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    a = \sqrt{\frac{k}{3t}}.
+    \label{eq:regular_polygon_a_opt}
+\end{equation}
+를 도출할 수 있다.
+
+또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는
+해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다.
+\[
+    V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
+\]
+이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다.
+따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
+\begin{equation}
+    a = \sqrt{\frac{k}{3t}}
+    \label{eq:regular_polygon_a}
+\end{equation}
+로 결정된다.
+
+\subsection{최적 조건에서의 A와 b}
+
+식 \ref{eq:regular_polygon_A}에 계산한 $a$값을 대입하면,
+\begin{equation}
+    A = ta^2 = \frac{k}{3}
+\end{equation}
+이 된다.
+$A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다.
+이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어,
+밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
+
+기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
+\begin{equation}
+    b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+\subsection{최적 조건에서의 부피}
+
+기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
+따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
+\begin{equation}
+    V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
+    \quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0)
+\end{equation}
+와 같은 형태를 가진다.
+
+함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
+$P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
+따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다.
+
+$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
+\begin{equation}
+    P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
+\end{equation}
+이 된다.
+이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
+
+$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어야 한다.
+\begin{equation}
+    Q(n) = n \tan{(\pi / n)} \quad (n \geq 3)
+\end{equation}
+라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
+여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
+그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다.
+이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
+
+$Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다.
+
+먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다.
+$Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
+\begin{equation}
+    Q'(n)  = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
+\end{equation}
+가 된다.
+이때 계산을 간단히 하기 위하여
+\begin{equation}
+    \theta=\frac{\pi}{n}
+\end{equation}
+이라 두면,
+\begin{equation}
+    Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
+\end{equation}
+로 표현할 수 있기에,
+\begin{equation}
+    \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    \sin{\theta} \cos{\theta} = \theta
+\end{equation}
+
+배각공식에 따르면
+\begin{equation}
+    2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta}
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    \sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2}
+\end{equation}
+가 성립한다.
+
+따라서 극값이 존재하기 위해서는
+\begin{equation}
+    \theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
+\end{equation}
+를 만족해야 한다.
+이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
+\begin{equation}
+    f(\theta) = \frac{\sin 2\theta}{2} - \theta
+    \quad (\theta \leq \frac{\pi}{3})
+\end{equation}
+그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다.
+이 함수의 도함수는
+\begin{equation}
+    f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1
+\end{equation}
+이다.
+삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며,
+$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로
+\begin{equation}
+    f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0)
+\end{equation}
+가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
+또한
+\begin{equation}
+    f(0) = 0
+\end{equation}
+이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
+그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해
+$\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
+유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다.
+
+내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다.
+본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
+따라서 $Q(n)$의 정의역은
+\begin{equation}
+    \{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}
+\end{equation}
+이다.
+
+이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은
+\begin{equation}
+    Q(3) \simeq 5.196
+\end{equation}
+이다.
+
+우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
+이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에
+\begin{equation}
+    u = \frac{1}{n}
+\end{equation}
+으로 정의하면,
+\begin{equation}
+    \lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)}
+\end{equation}
+이 된다. 이를 계산하면
+\begin{equation}
+    \lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
+    = \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
+    = \pi \cdot 1
+    = \pi
+\end{equation}
+이 된다.
+$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
+이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
+
+정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에
+부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
+따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다.
+
+\section{원기둥의 최적화}
+
+원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
+이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
+그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{cylinder.png}
+    \caption{윗면이 없는 원기둥}
+    \label{fig:cylinder}
+\end{figure}
+
+윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다
+\begin{equation}
+    S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
+\end{equation}
+겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
+\begin{equation}
+    S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k
+    \label{eq:cylinder_constraint}
+\end{equation}
+이다.
+부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b) = \pi a^2 b
+    \label{eq:cylinder_V}
+\end{equation}
+이다.
+
+식 \ref{eq:cylinder_constraint}를 $b$에 대해 정리하면
+\begin{equation}
+    b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
+    \label{eq:cylinder_b}
+\end{equation}
+가 된다.
+이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는
+\begin{equation}
+    V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다.
+도함수는
+\begin{equation}
+    V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2}
+\end{equation}
+이기에,
+\begin{equation}
+    V'(a) = 0
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    \frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
+\end{equation}
+이다.
+또한,
+\begin{equation}
+    V''(a) = -3 \pi a
+\end{equation}
+로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다.
+
+이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면,
+\begin{equation}
+    b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
+    = \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}}
+    = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
+\end{equation}
+가 된다.
+따라서 최적 비율은
+\begin{equation}
+    \boxed{a = b}
+\end{equation}
+이다.
+
+최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
+\end{equation}
+이다.
+
+\section{n에 따른 변화}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[
+                axis lines=middle,
+                xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$,
+                legend style={draw=none, fill=none}
+            ]
+
+            \pgfmathsetmacro{\k}{100}
+
+            \foreach \n in {3,...,50} {
+                    \addplot[
+                        only marks,
+                        mark=*,
+                        mark size=1.2pt
+                    ] coordinates {
+                            (\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))})
+                        };
+                }
+            \addlegendentry{$V_{max}(n)$}
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+
+    \caption{함수 $V_{max}(n)$}
+    \label{fig:v_max_n}
+\end{figure}
+
+그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이
+변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
+이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며,
+각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
+
+그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
+
+\begin{itemize}
+    \item $n$이 증가할수록 $V_{\max}(n)$은 단조 증가한다.
+    \item 증가량은 점점 감소하며, 특정 값에 점근적으로 수렴하는 형태를 보인다.
+\end{itemize}
+
+이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
+최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}
+\end{equation}
+이며, 둘레는
+\begin{equation}
+    P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    V_{\max}(n)
+    = \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}}
+    = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}}
+\end{equation}
+로 나타낼 수 있다.
+
+따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수
+\begin{equation}
+    Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
+\end{equation}
+의 변화에 의해 결정된다.
+
+앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며,
+\begin{equation}
+    \lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi
+\end{equation}
+임을 보였다.
+따라서
+\begin{equation}
+    \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
+    = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
+
+또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는
+$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
+즉,
+\begin{equation}
+    \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}
+    \quad (n \to \infty)
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    Q(n) \approx \pi
+\end{equation}
+로 빠르게 수렴하게 되고,
+이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
+
+기하학적으로 해석하면,
+정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며,
+같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
+이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고,
+결과적으로 부피가 증가하게 된다.
+
+그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는
+정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에,
+부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
+이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다.
+
+따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는
+$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
+그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
+
+\section{결론}
+
+본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서
+최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
+이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때
+가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
+
+먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
+겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서
+부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
+\[
+    a=b=2c
+\]
+일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
+즉, 밑면은 정사각형이 되며,
+높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
+또한 이때 밑면의 넓이는 항상
+\[
+    A=\frac{k}{3}
+\]
+이 됨을 확인하였다.
+
+이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
+제약조건을 이용하여 높이를 소거하고
+부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤,
+고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
+그 결과,
+\[
+    a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
+\]
+이며, 이때 역시 밑면의 넓이는
+\[
+    A=\frac{k}{3}
+\]
+이 됨을 확인하였다.
+이는 밑면의 형태와 무관하게
+최대 부피를 가지는 경우에는
+전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에,
+$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
+
+다음으로 부피 최대화를 위해서는
+둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
+이를 위해 함수
+\[
+    Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
+\]
+을 분석하였다.
+내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고,
+경계 분석을 통해
+\[
+    \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
+\]
+임을 도출하였다.
+이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며,
+그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
+
+따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서
+최대 부피를 가지는 도형은
+밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
+이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때
+원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
+
+본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
+
+\begin{itemize}
+    \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
+    \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
+    \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
+          원기둥이 최적 구조가 된다.
+\end{itemize}
+
+이 결과는 기하학적 대칭성이
+최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
+대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로
+더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
+
+다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고
+겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다.
+실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도,
+적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다.
+향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여
+보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다.
+
+결론적으로,
+고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중
+최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며,
+이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
+
+\end{document}