commit c500a79f902b24d5fd88c066835c1fc4d82874b5
Author: seung6lee <sj@seung6lee.com>
Date:   Sun Mar 1 16:04:01 2026 +0900

    initial commit

diff --git a/.gitignore b/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..4f43cdd
--- /dev/null
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1,7 @@
+# Latex Files
+latex/aux/
+latex/build/*
+!latex/build/*.pdf
+
+# System Files
+.DS_Store
\ No newline at end of file
diff --git a/latex/build/main.pdf b/latex/build/main.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0298bd4
Binary files /dev/null and b/latex/build/main.pdf differ
diff --git a/latex/images/cuboid.png b/latex/images/cuboid.png
new file mode 100644
index 0000000..3e47881
Binary files /dev/null and b/latex/images/cuboid.png differ
diff --git a/latex/images/cylinder.png b/latex/images/cylinder.png
new file mode 100644
index 0000000..e66c71e
Binary files /dev/null and b/latex/images/cylinder.png differ
diff --git a/latex/images/regular_polygon.png b/latex/images/regular_polygon.png
new file mode 100644
index 0000000..a49ca46
Binary files /dev/null and b/latex/images/regular_polygon.png differ
diff --git a/latex/images/regular_polygon_top.png b/latex/images/regular_polygon_top.png
new file mode 100644
index 0000000..d131d3f
Binary files /dev/null and b/latex/images/regular_polygon_top.png differ
diff --git a/latex/main.tex b/latex/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..bb5b5ef
--- /dev/null
+++ b/latex/main.tex
@@ -0,0 +1,378 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage{kotex}
+\usepackage[toc, page]{appendix}
+\usepackage{hyperref}
+\hypersetup{
+    pdfborder={0 0 0}
+}
+\usepackage{float}
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+
+\setlength{\parindent}{0pt}
+\setlength{\parskip}{0.6em}
+\linespread{1.08}
+
+\title{Math IA}
+\author{이승준}
+\date{\today}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\newpage
+
+\tableofcontents
+
+\newpage
+
+\section{서론}
+
+본 연구는 3D 프린터로 정해진 필라멘트 양으로 최대한의 부피를 가진 컨테이너를 구하는 것에 대해 탐구한다.
+본 저자는 평소 모델링이나 3D 프린팅에 관심이 많아 필요한 제품이 있을때 직접 디자인하여 출력하는 것을 좋아한다.
+최근에는 로봇 개발을 위해 대량의 나사와 너트를 주문했다.
+다양한 종류의 부품들이 비닐봉투에 담겨 왔다.
+이들을 분류하여 정리하여 필요할때에 사용하기 위해 부품 종류별로 컨테이너를 만들기로 했다.
+컨테이너를 디자인하는 것은 매우 쉽다.
+그러나 적은 필라멘트로 최대 부피를 가진 컨테이너를 만들 수 있는 방안에 대해서는 생각해보지 않았다.
+3D 프린팅을 자주하고 모델링이나 출력에 문제가 있는 경우 다시 출력해야하기 때문에 평소 필라멘트를 낭비하는 경우가 많았다.
+이때문에 필라멘트를 자주 구매해야하기도 했으며, 환경에도 좋지 않았다.
+따라서 정해진 필라멘트 양으로 최대 부피를 가진 컨테이너를 구하게 되었다.
+
+\section{연구 설계}
+
+본 저자가 원하는 컨테이너는 윗면이 없는 기둥이다.
+
+해당 컨테이너를 만들때 사용할 수 있는 필라멘트의 양을 제한한다.
+
+이때 속이 빈 컨테이너를 출력할때 필요한 필라멘트의 양은 컨테이너의 겉넓이와 비례한다.
+벽의 두께는 무시한다.
+
+그렇다면 고정된 필라멘트 양으로 제작할 수 있는 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것은,
+고정된 겉넓이를 가진 최대 부피의 컨테이너를 구하는 것과 같다.
+
+우선 밑면이 직사각형인 기둥인 직육면체에 대해서 최대 부피를 탐구해본 뒤,
+밑면이 정다각형인 기둥에 대해서도 탐구하여 어떤 밑면이 어떤 도형일때 부피가 최대가 되는지 탐구한다.
+
+겉넓이는 $k$라는 상수로 고정한다.
+
+\section{직육면체의 최적화}
+
+직육면체(윗면 없음)의 가로, 세로, 높이를 각각 $a$, $b$, $c$로 둔다.
+(이들은 모두 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$이다.)
+그림 \ref{fig:cuboid}은 해당 직육면체를 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cuboid.png}
+    \caption{윗면이 없는 직육면체}
+    \label{fig:cuboid}
+\end{figure}
+
+본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
+컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
+
+윗면이 없으므로 겉넓이는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
+
+\begin{equation}
+    S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
+\end{equation}
+
+따라서 제약조건은
+\begin{equation}
+    S(a, b, c) = k
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    ab + 2c(a + b) = k
+    \label{eq:cuboid_constraint}
+\end{equation}
+이다. 한편 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b, c) = abc
+\end{equation}
+이다.
+
+\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
+
+밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
+식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
+\begin{equation}
+    p + 2c(a + b) = k
+\end{equation}
+이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
+\begin{equation}
+    c = \frac{k - p}{2(a + b)}
+    \label{eq:cuboid_c}
+\end{equation}
+이다. 따라서 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b) = ab \cdot c
+    = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+    \label{eq:cuboid_volume}
+\end{equation}
+로 쓸 수 있다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{극댓값에서 $a = b$인 이유}{극댓값에서 a = b인 이유}}
+
+이제 어떤 후보 $(a, b, c)$가 부피를 최대로 만드는 최적해라고 가정하자.
+그 후보에서의 밑면 넓이 $p = ab$는 어떤 특정한 값 $p_0$를 갖는다.
+이때 $p$가 동일한 다른 직사각형들(즉 $ab = p_0$인 다른 $(a, b)$)과 비교해도, 최적해라면 부피가 가장 커야한다.
+
+식 \ref{eq:cuboid_volume}에서 $k$와 $p$가 고정되면,
+\begin{equation*}
+    V(a, b) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+\end{equation*}
+이므로, $V$를 크게 만들기 위해서는  분모의 $(a + b)$가 최소가 되어야 한다.
+그런데 $ab = p$가 고정일때 산술기하 평균에 의해
+\begin{equation}
+    a + b \geq 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{p}
+\end{equation}
+가 성립하고, 등호는 $a = b$일 때에만 성립한다.
+따라서 $ab = p$인 후보들 중 $(a + b)$가 최소가 되는 경우는 $a = b$이며,
+결국 최적해는 반드시
+\begin{equation}
+    a = b
+\end{equation}
+를 만족해야한다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{최대 부피와 $a$, $b$, $c$의 비율}{최대 부피와 a, b, c의 비율}}
+
+이제 $b$를 $a$로 두면, $p = ab = a^2$이고, 식 \ref{eq:cuboid_volume}을 정리하면 부피는
+\begin{equation}
+    V(a) = p \cdot \frac{k - p}{2(a + b)}
+    = \frac{ka - a^3}{4}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+최댓값이 되는 지점에서 도함수의 값이 $0$이어야 하기에, $V'(a) = 0$을 풀면,
+\begin{equation}
+    V'(a) = \frac{1}{4} \left( k - 3 a^2 \right) = 0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    a = \sqrt{\frac{k}{3}}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+또한 $V''(a) = -\frac{6}{4}a$에서 $a>0$이기 때문에 $V''(a) < 0$이 항상 성립한다.
+따라서 그림 \ref{fig:f_and_derivative}에서도 볼 수 있듯이 $a < \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) > 0$임으로
+$f(a)$가 증가하며, $a > \sqrt{\frac{k}{3}}$일때는 $f'(a) < 0$임으로 $f(a)$가 감소하기 때문에,
+$a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $f(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[
+                variable=a,
+                domain=0:3,
+                samples=100,
+                axis lines=middle,
+                xlabel=$a$, ylabel=,
+                xtick=\empty, ytick=\empty,
+                ymin=-2, ymax=2,
+                legend style={draw=none, fill=none}
+            ]
+            \pgfmathsetmacro{\k}{5}
+            \pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
+
+            \addplot[blue] {(\k*a - a^3) / 4};
+            \addlegendentry{$f(a)$}
+
+            \addplot[red] {1/4 * (\k - 3*a^2)};
+            \addlegendentry{$f'(a)$}
+
+            \addplot[green] {-6/4*a};
+            \addlegendentry{$f''(a)$}
+
+            \addplot[dashed, black] coordinates {(\aopt,-2) (\aopt,2)};
+            \addlegendentry{$a=\sqrt{\frac{k}{3}}$}
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+
+    \caption{함수 $f(a)$와 도함수 및 이계도함수 그래프}
+    \label{fig:f_and_derivative}
+\end{figure}
+
+도출한 $a$값을 식 \ref{eq:cuboid_c}에 대입하면,
+\begin{equation}
+    c = \frac{k - p}{2(a + b)}
+    = \frac{k - \left( \sqrt{\frac{k}{3}} \right) ^ 2}{4 \sqrt{\frac{k}{3}}}
+    = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}}
+    = \frac{1}{2} a
+\end{equation}
+이 된다. 따라서 최적 비율은
+\begin{equation}
+    \boxed{a = b = 2c}
+\end{equation}
+이다.
+
+마지막으로 최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{\max} = abc = a^2 c
+    =\left( \frac{k}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} \right)
+    =\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {3/2}.
+\end{equation}
+이 된다.
+
+\subsection{해석 및 다음 단계}
+
+직육면체의 부피가 최대가 될때 $a = b$이므로 밑면은 정사각형이 된다.
+이를 바탕으로 밑면이 정$n$각형인 기둥으로 확장하여,
+변의 수 $n$이 증가할수록 최대 부피가 어떻게 변하는지 분석한다.
+
+\section{정다각형 기둥의 최적화}
+
+정다각형 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면의 한 변의 길이를 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 하고, 밑면의 변의 개수를 $n$이라 한다.
+이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a>0$, $b>0$이며, 밑면은 최소 삼각형이므로 $n \geq 3$이다.
+그림 \ref{fig:regular_polygon}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon.png}
+    \caption{윗면이 없는 정다각형 기둥}
+    \label{fig:regular_polygon}
+\end{figure}
+
+정다각형 기둥 분석에서도 벽의 두께는 무시하며, 겉넓이는 상수 $k$로 고정한다.
+
+겉넓이와 부피를 계산하기에 앞서 밑변의 넓이를 $A$라 하자.
+그림 \ref{fig:regular_polygon_top}과 같이, 변의 개수가 $n$개인 정다각형은 중심에서 각 꼭짓점으로 선을 그으면
+$n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon_top.png}
+    \caption{정다각형 기둥 밑면}
+    \label{fig:regular_polygon_top}
+\end{figure}
+
+각 이등변삼각형의 꼭짓각은 $\frac{2 \pi}{n}$이고, 밑변의 길이는 $a$이다.
+이때 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 이등변삼각형을 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.
+이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는
+\begin{equation*}
+    \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation*}
+임을 구할 수 있다.
+
+따라서 각 이등변삼각형의 넓이는
+\begin{equation*}
+    \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
+    = \frac{a^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation*}
+이다.
+
+이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
+\begin{equation}
+    A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+이때 계산의 편의를 위해
+\begin{equation}
+    t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
+\end{equation}
+로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
+\begin{equation}
+    A = ta^2
+\end{equation}
+
+
+다음으로 밑면의 둘레를 $P$라고 하자. $P$는
+\begin{equation}
+    P = na
+\end{equation}
+로 나타낼 수 있다.
+
+기둥의 겉넓이는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이$Pb$의 합이다.
+\begin{equation}
+    S(a, b, n) = A + Pb
+\end{equation}
+따라서 제약조건은
+\begin{equation}
+    S(a, b, n) = k
+    \quad \Longleftrightarrow \quad
+    A + Pb = k
+    \label{eq:regular_polygon_constraint}
+\end{equation}
+이다. 한편 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, b, n) = Ab
+    \label{eq:regular_polygon_v0}
+\end{equation}
+이다.
+
+\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
+
+식 \ref{eq:regular_polygon_constraint}을 $b$에 대해서 정리하면
+\begin{equation}
+    b = \frac{k - A}{P}
+\end{equation}
+가 된다.
+이를 식 \ref{eq:regular_polygon_v0}에 대입하면 부피는
+\begin{equation}
+    V(a, n) = Ab = A \cdot \frac{k - A}{P} = \frac{t(ka - ta^3)}{n}
+    \label{eq:regular_polygon_v1}
+\end{equation}
+이 된다.
+
+본 문제는 원래 밑면의 변 길이 $a$, 변의 수 $n$, 높이 $b$의 세 변수로 기술된다.
+그러나 제약조건 $A+Pb=k$를 $b$에 대해 풀어 $b=\frac{k-A}{P}$로 나타낸 뒤 이를 부피식에 대입했으므로,
+$b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
+결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정되며, 이 단계에서의 자유변수는 $a$와 $n$ 두 개이다.
+
+다만 $n$은 정$n$각형이라는 \emph{밑면의 종류}를 결정하는 정수이므로,
+우선 특정한 $n$을 고정한 상태에서 최적의 크기 $a$를 찾는 방식으로 문제를 단계적으로 해결한다.
+즉, $V(a,n)$가 최대가 되는 $n$을 $n_0$라고 할 때,
+먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
+\[
+V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
+\]
+를 최대화한다.
+
+\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
+
+$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며,
+\begin{equation}
+    V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0}\left(ka-ta^3\right)
+\end{equation}
+는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다. 최대 부피가 내부점에서 발생한다면,
+기울기 $V_{n_0}'(a)$가 양수이면 $a$를 조금 증가시켜 부피를 더 키울 수 있고,
+음수이면 $a$를 조금 감소시켜 부피를 더 키울 수 있으므로 최대가 될 수 없다.
+따라서 내부 최대점에서는
+\begin{equation}
+    V_{n_0}'(a)=0
+\end{equation}
+이 성립해야 한다.
+
+이를 계산하면,
+\begin{equation}
+    V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0}\left(k-3ta^2\right)
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    \frac{t}{n_0}\left(k-3ta^2\right)=0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    k-3ta^2=0
+    \quad \Longrightarrow \quad
+    a^2=\frac{k}{3t}.
+    \label{eq:regular_polygon_a_opt}
+\end{equation}
+
+또한
+\[
+V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
+\]
+이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다.
+따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
+\begin{equation}
+    a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
+\end{equation}
+로 결정된다.
+
+\end{document}
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