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-19
@@ -7,6 +7,7 @@
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}
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\usepackage{float}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{siunitx}
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\usepackage{graphicx}
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\graphicspath{{images/}}
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@@ -280,12 +281,14 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
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로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
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\begin{equation}
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A = ta^2
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\label{eq:regular_polygon_A}
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||||
\end{equation}
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다음으로 밑면의 둘레를 $P$라고 하자. $P$는
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\begin{equation}
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P = na
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\label{eq:regular_polygon_P}
|
||||
\end{equation}
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로 나타낼 수 있다.
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@@ -312,6 +315,7 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
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||||
식 \ref{eq:regular_polygon_constraint}을 $b$에 대해서 정리하면
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||||
\begin{equation}
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||||
b = \frac{k - A}{P}
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\label{eq:regular_polygon_b}
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||||
\end{equation}
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가 된다.
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이를 식 \ref{eq:regular_polygon_v0}에 대입하면 부피는
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@@ -324,14 +328,14 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
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||||
본 문제는 원래 밑면의 변 길이 $a$, 변의 수 $n$, 높이 $b$의 세 변수로 기술된다.
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||||
그러나 제약조건 $A+Pb=k$를 $b$에 대해 풀어 $b=\frac{k-A}{P}$로 나타낸 뒤 이를 부피식에 대입했으므로,
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||||
$b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
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||||
결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정되며, 이 단계에서의 자유변수는 $a$와 $n$ 두 개이다.
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||||
결과적으로 부피는 식 \ref{eq:regular_polygon_v1}와 같이 $(a,n)$에 의해 결정된다.
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||||
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||||
다만 $n$은 정$n$각형이라는 \emph{밑면의 종류}를 결정하는 정수이므로,
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||||
우선 특정한 $n$을 고정한 상태에서 최적의 크기 $a$를 찾는 방식으로 문제를 단계적으로 해결한다.
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||||
즉, $V(a,n)$가 최대가 되는 $n$을 $n_0$라고 할 때,
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||||
따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
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||||
그러나 우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
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||||
즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때,
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||||
먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
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||||
\[
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||||
V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
|
||||
V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
|
||||
\]
|
||||
를 최대화한다.
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||||
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||||
@@ -339,40 +343,393 @@ V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
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||||
|
||||
$n=n_0$를 고정하면 $t$와 $n_0$는 상수이며,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0}\left(ka-ta^3\right)
|
||||
V_{n_0}(a)=\frac{t}{n_0} \left( ka - ta^3 \right)
|
||||
\end{equation}
|
||||
는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다. 최대 부피가 내부점에서 발생한다면,
|
||||
기울기 $V_{n_0}'(a)$가 양수이면 $a$를 조금 증가시켜 부피를 더 키울 수 있고,
|
||||
음수이면 $a$를 조금 감소시켜 부피를 더 키울 수 있으므로 최대가 될 수 없다.
|
||||
따라서 내부 최대점에서는
|
||||
는 $a$에 대한 미분 가능한 함수가 된다.
|
||||
$V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점에서는 해당 함수의 도함수의 값이 $0$이 되어야 하기 때문에
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V_{n_0}'(a)=0
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 성립해야 한다.
|
||||
|
||||
이를 계산하면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0}\left(k-3ta^2\right)
|
||||
V_{n_0}'(a)=\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right)
|
||||
\end{equation}
|
||||
이므로,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{t}{n_0}\left(k-3ta^2\right)=0
|
||||
\frac{t}{n_0} \left( k - 3ta^2 \right) = 0
|
||||
\quad \Longrightarrow \quad
|
||||
k-3ta^2=0
|
||||
k - 3ta^2 = 0
|
||||
\quad \Longrightarrow \quad
|
||||
a^2=\frac{k}{3t}.
|
||||
a = \sqrt{\frac{k}{3t}}.
|
||||
\label{eq:regular_polygon_a_opt}
|
||||
\end{equation}
|
||||
를 도출할 수 있다.
|
||||
|
||||
또한
|
||||
또한 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 구한 $a$가 $V_{n_0}(a)$가 최대가 되는 지점이 되기 위해서는
|
||||
해당 함수의 이계도함수가 해당 지점에서 음수여야 한다.
|
||||
\[
|
||||
V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
|
||||
V_{n_0}''(a)=\frac{t}{n_0}(-6ta) < 0 \quad (a>0)
|
||||
\]
|
||||
이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다.
|
||||
이므로 식 \ref{eq:regular_polygon_a_opt}에서 얻은 임계점은 실제로 최대 부피를 준다는 것을 알 수 있다.
|
||||
따라서 정$n_0$각기둥에서 최대 부피를 만들기 위한 변의 길이는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
|
||||
a = \sqrt{\frac{k}{3t}}
|
||||
\label{eq:regular_polygon_a}
|
||||
\end{equation}
|
||||
로 결정된다.
|
||||
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||||
\subsection{최적 조건에서의 A와 b}
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||||
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||||
식 \ref{eq:regular_polygon_A}에 계산한 $a$값을 대입하면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
A = ta^2 = \frac{k}{3}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 된다.
|
||||
$A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다각형 기둥의 부피가 최대가 될때, 밑면의 넓이는 일정하다는 것을 의미한다.
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||||
이는 위에서 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우에서도 두 밑면의 길이가 모두 $\sqrt{\frac{k}{3}}$가 되어,
|
||||
밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
|
||||
|
||||
기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
|
||||
\end{equation}
|
||||
가 된다.
|
||||
|
||||
\subsection{최적 조건에서의 부피}
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||||
|
||||
기둥의 부피는 $A$와 $b$의 곱이기에, 최대 부피는
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||||
\begin{equation}
|
||||
V_{max} = Ab = \frac{2k^2}{9P}
|
||||
\end{equation}
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||||
가 된다.
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||||
|
||||
여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
|
||||
따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
|
||||
\quad (C = \frac{2k^2}{9} > 0)
|
||||
\end{equation}
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||||
와 같은 형태를 가진다.
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||||
|
||||
함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
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||||
$P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
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||||
따라서 최대 부피를 얻기 위해서는 $P$가 최소가 되어야 한다.
|
||||
|
||||
$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
|
||||
\begin{equation}
|
||||
P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 된다.
|
||||
이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
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||||
|
||||
$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어야 한다.
|
||||
\begin{equation}
|
||||
Q(n) = n \tan{(\pi / n)} \quad (n \geq 3)
|
||||
\end{equation}
|
||||
라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
|
||||
여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
|
||||
그러나 함수 $Q(n)$의 증가 및 감소를 분석하기 위하여, $n$을 실수 $n > 2$로 확장하여 미분을 수행한다.
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||||
이러한 연속적 확장은 함수의 경향성을 파악하기 위한 것이며, 푸후 해석은 다시 정수 $n$에 대해 이루어진다.
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||||
|
||||
$Q(n)$이 최소가 될 수 있는 후보 지점은 극값과 경계값이 있다.
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||||
|
||||
먼저 극값이 최솟값이 되기 위해서는 해당 지점에서 도함수가 $0$이어야 하며, 이계도함수가 양수여야 한다.
|
||||
$Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
|
||||
\begin{equation}
|
||||
Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
|
||||
\end{equation}
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||||
가 된다.
|
||||
이때 계산을 간단히 하기 위하여
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\theta=\frac{\pi}{n}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이라 두면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
|
||||
\end{equation}
|
||||
로 표현할 수 있기에,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
|
||||
\quad \Longrightarrow \quad
|
||||
\sin{\theta} \cos{\theta} = \theta
|
||||
\end{equation}
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||||
|
||||
배각공식에 따르면
|
||||
\begin{equation}
|
||||
2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2 \theta}
|
||||
\quad \Longrightarrow \quad
|
||||
\sin{\theta} \cos{\theta} = \frac{\sin{2 \theta}}{2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
가 성립한다.
|
||||
|
||||
따라서 극값이 존재하기 위해서는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
를 만족해야 한다.
|
||||
이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(\theta) = \frac{\sin 2\theta}{2} - \theta
|
||||
\quad (\theta \leq \frac{\pi}{3})
|
||||
\end{equation}
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||||
그러면 위 방정식은 $f(\theta)=0$을 푸는 문제와 같다.
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||||
이 함수의 도함수는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f'(\theta) = \cos{2 \theta} - 1
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
삼각함수의 성질에 의해 $\cos{2 \theta} \leq 1$이며,
|
||||
$\theta > 0$일 때는 $\cos 2\theta < 1$이므로
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f'(\theta) < 0 \quad (\theta > 0)
|
||||
\end{equation}
|
||||
가 성립한다. 따라서 $f(\theta)$는 $\theta>0$에서 단조 감소한다.
|
||||
또한
|
||||
\begin{equation}
|
||||
f(0) = 0
|
||||
\end{equation}
|
||||
이므로, $f(\theta) = 0$을 만족하는 해는 $\theta = 0$ 하나뿐이다.
|
||||
그러나 $\theta=\frac{\pi}{n}$의 정의에 의해
|
||||
$\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
|
||||
유한한 $n$에서는 $\theta>0$이다. 따라서 $Q(n)$은 유한한 $n$에서 내부 극값을 갖지 않는다.
|
||||
|
||||
내부에서 극값이 존재하지 않으므로, 최솟값은 경계에서만 발생할 수 있다.
|
||||
본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
|
||||
따라서 $Q(n)$의 정의역은
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
|
||||
이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은
|
||||
\begin{equation}
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||||
Q(3) \simeq 5.196
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
|
||||
우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
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||||
이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에
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||||
\begin{equation}
|
||||
u = \frac{1}{n}
|
||||
\end{equation}
|
||||
으로 정의하면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\lim_{n \to \infty}{Q(n)} = \lim_{u \to 0}{Q(u)}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 된다. 이를 계산하면
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
|
||||
= \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
|
||||
= \pi \cdot 1
|
||||
= \pi
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 된다.
|
||||
$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
|
||||
이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
|
||||
|
||||
정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에
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||||
부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
|
||||
따라서 이번에는 제약조건하에서 가장 부피가 큰 원기둥에 대해서 탐구한다.
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||||
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||||
\section{원기둥의 최적화}
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||||
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||||
원기둥 기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
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||||
이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
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||||
그림 \ref{fig:cylinder}은 해당 기둥을 나타내며, 길이 비율은 실제 해와 무관하다.
|
||||
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||||
\begin{figure}[H]
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||||
\centering
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||||
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cylinder.png}
|
||||
\caption{윗면이 없는 원기둥}
|
||||
\label{fig:cylinder}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
윗면이 없으므로 겉넓이는 밑면과 옆면의 합이다
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
|
||||
\end{equation}
|
||||
겉넓이는 k로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
|
||||
\begin{equation}
|
||||
S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \pi a^2 + 2 \pi ab = k
|
||||
\label{eq:cylinder_constraint}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
부피는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V(a, b) = \pi a^2 b
|
||||
\label{eq:cylinder_V}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
|
||||
식 \ref{eq:cylinder_constraint}를 $b$에 대해 정리하면
|
||||
\begin{equation}
|
||||
b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
|
||||
\label{eq:cylinder_b}
|
||||
\end{equation}
|
||||
가 된다.
|
||||
이를 이용해 식 \ref{eq:cylinder_V}에 대입하면 부피는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V(a) = \frac{ak - \pi a^3}{2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이 된다.
|
||||
|
||||
부피가 최대가 되기 위해서는 $V(a)$의 도함수가 $0$이 되며, 이계도함수가 음수인 지점이어야 한다.
|
||||
도함수는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V'(a) = \frac{k - 3 \pi a^2}{2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이기에,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V'(a) = 0
|
||||
\quad \Longleftrightarrow \quad
|
||||
\frac{k - 3 \pi a^2}{2} = 0
|
||||
\quad \Longleftrightarrow \quad
|
||||
a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
또한,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V''(a) = -3 \pi a
|
||||
\end{equation}
|
||||
로 $a > 0$이기에 $V''(a) < 0$이 항상 성립하기에 $a = \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}$이 $V(a)$의 최댓감임을 알 수 있다.
|
||||
|
||||
이때의 $b$는 식 \ref{eq:cylinder_b}에 구한 $a$값을 대입하면,
|
||||
\begin{equation}
|
||||
b = \frac{k - \pi a^2}{2 \pi a}
|
||||
= \frac{k - \pi \frac{k}{3 \pi}}{2 \pi \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}}
|
||||
= \sqrt{\frac{k}{3 \pi}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
가 된다.
|
||||
따라서 최적 비율은
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\boxed{a = b}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
|
||||
최대 부피는
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V_{max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
|
||||
\end{equation}
|
||||
이다.
|
||||
|
||||
\section{n에 따른 변화}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
xlabel=$n$, ylabel=$V_{max}$,
|
||||
legend style={draw=none, fill=none}
|
||||
]
|
||||
|
||||
\pgfmathsetmacro{\k}{100}
|
||||
|
||||
\foreach \n in {3,...,50} {
|
||||
\addplot[
|
||||
only marks,
|
||||
mark=*,
|
||||
mark size=1.2pt
|
||||
] coordinates {
|
||||
(\n, {(\k^(3/2)) / (3*sqrt(3*\n*tan(deg(pi/\n))))})
|
||||
};
|
||||
}
|
||||
\addlegendentry{$V_{max}(n)$}
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
|
||||
\caption{함수 $V_{max}(n)$}
|
||||
\label{fig:v_max_n}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\section{결론}
|
||||
|
||||
본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서
|
||||
최대 부피를 가지는 도형을 탐구하였다.
|
||||
이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때
|
||||
가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
|
||||
|
||||
먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
|
||||
겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서
|
||||
부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
|
||||
\[
|
||||
a=b=2c
|
||||
\]
|
||||
일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
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즉, 밑면은 정사각형이 되며,
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높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
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또한 이때 밑면의 넓이는 항상
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\[
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A=\frac{k}{3}
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\]
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이 됨을 확인하였다.
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이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
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제약조건을 이용하여 높이를 소거하고
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부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤,
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고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
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그 결과,
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\[
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a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
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\]
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이며, 이때 역시 밑면의 넓이는
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\[
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A=\frac{k}{3}
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\]
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이 됨을 확인하였다.
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이는 밑면의 형태와 무관하게
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최대 부피를 가지는 경우에는
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전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에,
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$\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
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다음으로 부피 최대화를 위해서는
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둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
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이를 위해 함수
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\[
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Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
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\]
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을 분석하였다.
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내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고,
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경계 분석을 통해
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\[
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\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
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\]
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임을 도출하였다.
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이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며,
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그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
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따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서
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최대 부피를 가지는 도형은
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밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
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이는 정다각형이 변의 개수를 무한히 늘릴 때
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원이 된다는 기하학적 사실과도 일치한다.
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본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
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\begin{itemize}
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\item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
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\item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
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\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
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원기둥이 최적 구조가 된다.
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\end{itemize}
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이 결과는 기하학적 대칭성이
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최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
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대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로
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더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
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다만 본 연구에서는 벽 두께를 무시하고
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겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다.
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실제 3D 프린팅에서는 재료의 밀도,
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적층 구조, 내부 채움률(infill) 등의 요소가 영향을 줄 수 있다.
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향후 연구에서는 이러한 현실적 요소를 포함하여
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보다 실제적인 모델로 확장할 수 있을 것이다.
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결론적으로,
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고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중
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최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며,
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이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
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\end{document}
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