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2026-09-22 22:50:45 +09:00
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@@ -13,6 +13,7 @@
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@@ -20,6 +21,14 @@
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% 모든 그림과 그래프의 크기를 통일하기 위한 공통 크기
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\doublespacing
@@ -28,13 +37,16 @@
\begin{titlepage}
\centering
\vspace*{\fill}
{\Large 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
\vspace{2em}
\vspace*{12em}
{\huge 고정된 겉넓이를 갖는 기둥의 최대 부피에 대한 탐구}
{\large 20페이지}
\vspace*{\fill}
{\large 19페이지}
\vspace*{12em}
\end{titlepage}
\setcounter{page}{1}
@@ -76,7 +88,7 @@
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{cuboid.png}
\includegraphics[width=\figwidth, height=\figheight, keepaspectratio]{cuboid.png}
\caption{윗면이 없는 직육면체}
\label{fig:cuboid}
\end{figure}
@@ -84,11 +96,7 @@
본 연구에서는 사용할 수 있는 필라멘트 양이 고정되어 있으므로(두께 무시),
컨테이너의 겉넓이를 상수 $k$로 고정한다.
윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합이다:
\begin{equation*}
S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca
\end{equation*}
윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 바닥 $ab$와 네 옆면 $2bc+2ca$의 합인 $S(a, b, c) = ab + 2bc + 2ca$이다.
따라서 제약조건은
\begin{equation}
@@ -97,20 +105,12 @@
ab + 2c(a + b) = k
\label{eq:cuboid_constraint}
\end{equation}
이다. 한편 부피 $V$는
\begin{equation*}
V(a, b, c) = abc
\end{equation*}
이다.
이다. 한편 부피 $V$는 $V(a, b, c) = abc$이다.
\subsection{제약조건을 이용한 변수 제거}
밑면의 넓이를 $p$라 두면 $p = ab$이다.
식 \ref{eq:cuboid_constraint}는
\begin{equation*}
p + 2c(a + b) = k
\end{equation*}
이 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
식 \ref{eq:cuboid_constraint}는 $p + 2c(a + b) = k$가 되며, 이를 $c$에 대해 풀면
\begin{equation}
c = \frac{k - p}{2(a + b)}
\label{eq:cuboid_c}
@@ -144,26 +144,10 @@
위에서 사용한 산술기하 평균(AM-GM) 방법 외에 편미분을 이용하는 방법으로도 $a = b$를 도출할 수 있다.
편미분(partial derivative)이란 두 개 이상의 변수를 가진 함수에서, 나머지 변수를 모두 상수로 고정하고 특정 변수 하나에 대해서만 미분하는 것을 의미한다.
예를 들어 $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$에서 $y$를 상수로 취급하고 $x$에 대해 미분하면
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2
\end{equation*}
이 된다.
예를 들어 $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$에서 $y$를 상수로 취급하고 $x$에 대해 미분하면 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$이 된다.
식 \ref{eq:cuboid_volume}의 부피 $V(a, b) = \dfrac{ab(k - ab)}{2(a+b)}$에 편미분을 적용하면,
$b$를 상수로 두고 $a$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial a} = 0$을 정리하면
\begin{equation*}
\frac{\partial V}{\partial a} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
k = a^2 + 2ab
\end{equation*}
가 되고, 대칭적으로 $a$를 상수로 두고 $b$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial b} = 0$을 정리하면
\begin{equation*}
\frac{\partial V}{\partial b} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
k = 2ab + b^2
\end{equation*}
가 된다. 두 식을 연립하면 $a^2 = b^2$, 즉 $a = b$ ($a, b > 0$)가 도출된다.
$b$를 상수로 두고 $a$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial a} = 0$을 정리하면 $k = a^2 + 2ab$가 되고, 대칭적으로 $a$를 상수로 두고 $b$로 미분한 $\dfrac{\partial V}{\partial b} = 0$을 정리하면 $k = 2ab + b^2$가 된다. 두 식을 연립하면 $a^2 = b^2$, 즉 $a = b$ ($a, b > 0$)가 도출된다.
이처럼 편미분을 이용한 접근은 두 방정식을 연립하여 $a = b$를 직접 이끌어 낸다. 반면 AM-GM 방법은 "분모 $(a+b)$를 최소화한다"는 기하학적 직관을 바탕으로 등호 성립 조건을 바로 읽어낸다는 장점이 있다. 두 방법 모두 같은 결론에 이르지만, AM-GM은 왜 $a = b$여야 하는지를 보다 직관적으로 설명해 준다.
@@ -194,6 +178,7 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=\figwidth, height=\figheight,
variable=a,
domain=0:3,
samples=100,
@@ -201,7 +186,8 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
xlabel=$a$, ylabel=,
xtick=\empty, ytick=\empty,
ymin=-2, ymax=2,
legend style={draw=none, fill=none}
legend columns=4,
legend style={at={(0.5,-0.05)}, anchor=north, draw=none, fill=none}
]
\pgfmathsetmacro{\k}{5}
\pgfmathsetmacro{\aopt}{sqrt(\k / 3)}
@@ -241,7 +227,7 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\begin{equation}
V_{\max} = abc = a^2 c
=\left( \frac{k}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{3}} \right)
=\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {3/2}.
=\frac{1}{2} \left( \frac{k}{3} \right) ^ {\frac{3}{2}}.
\end{equation}
이 된다.
@@ -262,7 +248,7 @@ $a = \sqrt{\frac{k}{3}}$인 지점이 $V(a)$의 최댓값임을 알 수 있다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon.png}
\includegraphics[width=\figwidth, height=\figheight, keepaspectratio]{regular_polygon.png}
\caption{윗면이 없는 정다각형 기둥}
\label{fig:regular_polygon}
\end{figure}
@@ -275,35 +261,31 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{regular_polygon_top.png}
\includegraphics[width=\figwidth, height=\figheight, keepaspectratio]{regular_polygon_top.png}
\caption{정다각형 기둥 밑면}
\label{fig:regular_polygon_top}
\end{figure}
각 이등변삼각형의 꼭짓각은 $\frac{2 \pi}{n}$이고, 밑변의 길이는 $a$이다.
이때 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 이등변삼각형을 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나눈다.
이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는
\begin{equation*}
\frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
\end{equation*}
임을 구할 수 있다.
이 직각삼각형에서 삼각함수를 이용하면 높이는 $\dfrac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$임을 구할 수 있다.
따라서 각 이등변삼각형의 넓이는
\begin{equation*}
\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan{(\pi / n)}}
= \frac{a^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}
= \frac{a^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}
\end{equation*}
이다.
이러한 삼각형이 $n$개 존재하므로, 밑면의 전체 넓이 $A$는
\begin{equation*}
A = \frac{na^2}{4 \tan{(\pi / n)}}
A = \frac{na^2}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}
\end{equation*}
이 된다.
이때 계산의 편의를 위해 ($t$는 $n$에 따라 결정되는 양수 상수이다)
\begin{equation*}
t = \frac{n}{4 \tan(\pi / n)}
t = \frac{n}{4 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}
\end{equation*}
로 두면, 위 식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
\begin{equation}
@@ -319,10 +301,7 @@ $n$개의 이등변삼각형으로 분할된다.
\end{equation}
로 나타낼 수 있다.
기둥의 겉넓이 $S$는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이 $Pb$의 합이다.
\begin{equation*}
S(a, b, n) = A + Pb
\end{equation*}
기둥의 겉넓이 $S$는 윗면이 없기 때문에 밑면의 넓이 $A$와 옆면의 넓이 $Pb$의 합인 $S(a, b, n) = A + Pb$이다.
따라서 제약조건은
\begin{equation}
S(a, b, n) = k
@@ -359,11 +338,7 @@ $b$는 더 이상 독립적으로 선택되는 변수가 아니다.
따라서 제약조건을 만족하면서 부피를 최대화하는 $(a, n)$ 쌍을 찾아야 한다.
우선 고정된 $n$에서 최대 부피가 되는 $a$를 찾는 것부터 진행한다.
즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대해 다음의 1변수 함수
\[
V_{n_0}(a):=V(a,n_0)
\]
를 최대화한다.
즉, $n$을 $3$이상의 임의의 정수 $n_0$라고 할 때, 먼저 $n=n_0$를 상수로 두고 $a$에 대한 1변수 함수 $V_{n_0}(a):=V(a,n_0)$를 최대화한다.
\subsection{\texorpdfstring{$n = n_0$에서의 $a$에 대한 최적 조건}{n = n0에서의 a에 대한 최적 조건}}
@@ -389,11 +364,7 @@ $A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다
밑면의 넓이가 $\frac{k}{3}$이 되었기 때문에 이 결과를 만족한다고 할 수 있다.
이 결과는 처음에 예상하지 못한 것이었다. 밑면의 형태가 삼각형이든 정사각형이든 원이든 관계없이, 최대 부피 조건에서는 겉넓이의 정확히 $\frac{1}{3}$이 항상 밑면에 배분된다는 보편적 원리가 성립함을 발견하였다.
기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면,
\begin{equation*}
b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}
\end{equation*}
가 된다. 따라서 최대 부피 조건에서의 밑면 넓이와 높이를 정리하면
기둥의 높이는 식 \ref{eq:regular_polygon_b}에 구한 $A$값을 대입하면 $b = \frac{k - A}{P} = \frac{2k}{3P}$가 된다. 따라서 최대 부피 조건에서의 밑면 넓이와 높이를 정리하면
\begin{equation}
\boxed{A = \frac{k}{3}, \quad b = \frac{2k}{3P}}
\end{equation}
@@ -408,12 +379,7 @@ $A$가 $k$로만 나타내어진다는 것은 $n$의 값에 상관없이 정다
가 된다.
여기서 $k$는 고정된 양수이며, $P > 0$이다.
따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여
\begin{equation*}
V_{\max}(P) = \frac{C}{P}
\quad \left(C = \frac{2k^2}{9} > 0\right)
\end{equation*}
와 같은 형태를 가진다.
따라서 $V_{\max}$는 $P$에 대하여 $V_{\max}(P) = \frac{C}{P}$ $\left(C = \frac{2k^2}{9} > 0\right)$와 같은 형태를 가진다.
함수 $V_{\max}(P)$는 $P > 0$에서 단조 감소 함수이므로,
$P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
@@ -421,14 +387,14 @@ $P$가 작아질수록 $V_{\max}$는 증가한다.
$P$는 식 \ref{eq:regular_polygon_P}에 $a$값을 대입하면
\begin{equation*}
P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan{(\pi / n)}}{3}}
P(n) = na = n \sqrt{\frac{k}{3t}} = 2 \sqrt{\frac{kn \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{3}}
\end{equation*}
이 된다.
이때 식 \ref{eq:regular_polygon_a}에서 $a$를 $n$으로 나타내었기 때문에, $P$는 $n$에 대한 일변수 함수가 된다.
$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan{(\pi / n)}$이 최소가 되어야 한다.
$P(n)$이 최소가 되기 위해서는 $n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$이 최소가 되어야 한다.
\begin{equation}
Q(n) = n \tan{(\pi / n)} \quad (n \geq 3)
Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \quad (n \geq 3)
\end{equation}
라고 하면, $Q(n)$이 최소가 될때의 $n$이 기둥의 부피를 최대화 한다.
여기서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 본래 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
@@ -445,11 +411,7 @@ $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
Q'(n) = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) - \frac{\pi}{n}\sec^2\left(\frac{\pi}{n}\right)
\end{equation*}
가 된다.
이때 계산을 간단히 하기 위하여 $\theta=\frac{\pi}{n}$이라 두면,
\begin{equation*}
Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}
\end{equation*}
로 표현할 수 있기에,
이때 계산을 간단히 하기 위하여 $\theta=\frac{\pi}{n}$이라 두면, $Q'(n) = \tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta}$로 표현할 수 있기에,
\begin{equation*}
\tan{\theta} - \theta \sec^2{\theta} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
@@ -458,11 +420,7 @@ $Q(n)$의 도함수는 곱의 미분법에 따라
배각공식 $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$에 따르면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$가 성립한다.
따라서 극값이 존재하기 위해서는
\begin{equation*}
\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}
\end{equation*}
를 만족해야 한다.
따라서 극값이 존재하기 위해서는 $\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$를 만족해야 한다.
이를 분석하기 위하여 다음과 같은 함수를 정의한다.
\begin{equation}
f(\theta) = \frac{\sin 2\theta}{2} - \theta
@@ -486,18 +444,66 @@ $\theta=0$이 되려면 $n \to \infty$이어야 하며,
본래 문제에서 $n$은 정$n$각형의 변의 개수를 의미하므로 정수 $n \geq 3$에 한정된다.
따라서 $Q(n)$의 정의역은 $\{n \mid n \geq 3,\; n \in \mathbb{Z}\}$이다.
이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 $Q(3) \simeq 5.196$이다.
이 정의역에서 가장 작은 값은 $n=3$이므로, 좌측 경계값은 $Q(3) \approx 5.196$이다.
우측 경계값을 구하기 위해서는 극한을 사용한다.
이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 $u = \frac{1}{n}$으로 정의하면 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \lim_{u \to 0}Q(u)$이 된다. 이를 계산하면
이 경우 무한대로의 극한값을 구하는 것보다 $0$으로의 극한값을 구하는게 더 쉽기 때문에 $u = \frac{1}{n}$으로 정의하면 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \lim_{u \to 0^+}Q\left(\frac{1}{u}\right)$이 된다. 이를 계산하면
\begin{equation}
\lim_{u \to 0}{Q(u)} = \lim_{u \to 0}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
= \pi \cdot \lim_{u \to 0}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
= \pi \cdot 1
= \pi
\lim_{u \to 0^+}{Q\left(\frac{1}{u}\right)} = \lim_{u \to 0^+}{\frac{1}{u} \tan{\pi u}}
= \pi \cdot \lim_{u \to 0^+}{\frac{\tan{(\pi u)}}{\pi u}}
\label{eq:Q_limit}
\end{equation}
이 된다.
$\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
$x = \pi u > 0$이라 두면 $u \to 0^+$일 때 $x \to 0^+$이므로 $\lim_{x \to 0^+}\frac{\tan x}{x}$만 구하면 된다.
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.75\figheight, y=0.75\figheight]
\pgfmathsetmacro{\ang}{35}
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (1,0);
\coordinate (P) at ({cos(\ang)},{sin(\ang)});
\coordinate (H) at ({cos(\ang)},0);
\coordinate (T) at (1,{tan(\ang)});
\draw[->] (-0.1,0) -- (1.25,0);
\draw[->] (0,-0.1) -- (0,1.15);
\draw[gray] (1,0) arc (0:90:1);
\draw (O) -- (T);
\draw (P) -- (A);
\draw (0.18,0) arc (0:\ang:0.18);
\node at ({0.25*cos(\ang/2)},{0.25*sin(\ang/2)}) {$x$};
\draw[very thick, blue] (P) -- (H) node[midway, left] {$\sin x$};
\draw[very thick, red] (A) arc (0:\ang:1);
\node[red] at ({1.07*cos(0.8*\ang)},{1.07*sin(0.8*\ang)}) {$x$};
\draw[very thick, green!50!black] (A) -- (T) node[midway, right] {$\tan x$};
\node[below left] at (O) {$O$};
\node[below right] at (A) {$A$};
\node[above left] at (P) {$P$};
\node[below] at (H) {$H$};
\node[right] at (T) {$T$};
\end{tikzpicture}
\caption{단위원에서 $\sin x$, $x$, $\tan x$의 비교}
\label{fig:unit_circle}
\end{figure}
그림 \ref{fig:unit_circle}의 단위원에서 $0 < x < \frac{\pi}{2}$일 때 $\triangle OAP \subset \text{부채꼴 } OAP \subset \triangle OAT$이므로 넓이를 비교하면 $\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x$이다.
따라서 역수를 취한 뒤 각 항에 $\sin x > 0$을 곱하면
\begin{equation*}
\sin x < x < \tan x
\quad \Longrightarrow \quad
\frac{1}{\tan x} < \frac{1}{x} < \frac{1}{\sin x}
\quad \Longrightarrow \quad
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1
\end{equation*}
이다. $x \to 0^+$일 때 $\cos x \to \cos 0 = 1$이므로 $\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1$이고,
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0^+}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1
\end{equation*}
이다. 따라서 식 \ref{eq:Q_limit}은 $\lim_{n \to \infty}Q(n) = \pi \cdot 1 = \pi$가 된다.
$\lim_{n \to \infty}Q(n) < Q(3)$이기 때문에 $Q(n)$의 최솟값은 $n$이 무한대일때임을 알 수 있다.
이는 밑면의 변이 더 많을수록 기둥의 부피가 더 커짐을 의미한다.
정다각형에서 변의 대수가 끊임없이 늘어나면 원이 되기 때문에 부피가 최대가 되는 밑면은 원이 되며, 이는 원기둥이 된다.
@@ -505,7 +511,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\section{원기둥의 최적화}
앞서 정다각형 분석에서 $Q(n)$이 순감소하며 $V_{\max}(n)$이 단조 증가함을 보였고, 그 극한이 $\frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3\pi}}$임을 확인하였다. 이제 극한의 도형인 원기둥의 최대 부피를 직접 계산하여 이 값과 일치하는지 검증한다.
앞서 정다각형 분석에서 $Q(n)$이 순감소하며 $V_{\max}(n)$이 단조 증가함을 보였고, 그 극한이 $\frac{k^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt{3\pi}}$임을 확인하였다. 이제 극한의 도형인 원기둥의 최대 부피를 직접 계산하여 이 값과 일치하는지 검증한다.
원기둥(윗면 없음) 분석에서는 밑면 원의 반지름을 $a$, 기둥의 높이를 $b$라 한다.
이때, $a$와 $b$는 길이이므로 $a > 0$, $b > 0$이다.
@@ -513,15 +519,12 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cylinder.png}
\includegraphics[width=\figwidth, height=\figheight, keepaspectratio]{cylinder.png}
\caption{윗면이 없는 원기둥}
\label{fig:cylinder}
\end{figure}
윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 밑면과 옆면의 합이다:
\begin{equation*}
S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab
\end{equation*}
윗면이 없으므로 겉넓이 $S$는 밑면과 옆면의 합인 $S(a, b) = \pi a^2 + 2 \pi ab$이다.
겉넓이는 $k$로 고정되어 있기 때문에 제약조건은
\begin{equation}
S(a, b) = k \quad \Longleftrightarrow \quad \pi a^2 + 2 \pi ab = k
@@ -570,7 +573,7 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
최대 부피는
\begin{equation}
V_{\max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{3/2}
V_{\max} = \pi a^2 b = \pi a^3 = \pi \left( \frac{k}{3 \pi} \right)^{\frac{3}{2}}
\end{equation}
이다.
@@ -581,9 +584,10 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
width=\figwidth, height=\figheight,
axis lines=middle,
xlabel=$n$, ylabel=$V_{\max}$,
legend style={draw=none, fill=none}
legend style={at={(0.97,0.5)}, anchor=east, draw=none, fill=none}
]
\pgfmathsetmacro{\k}{100}
@@ -601,12 +605,12 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{함수 $V_{\max}(n)$}
\caption{함수 $V_{\max}(n)$ ($k = 100$)}
\label{fig:v_max_n}
\end{figure}
그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이 변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며, 각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
이때 $k$는 $100$으로 고정되어 있으며, 각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
@@ -616,24 +620,22 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\end{itemize}
이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
앞서 도출한 $V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}$과 $P(n) = 2\sqrt{\frac{kn\tan(\pi/n)}{3}}$를 결합하면,
앞서 도출한 $V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}$과 $P(n) = 2\sqrt{\frac{kn\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}{3}}$를 결합하면,
\begin{equation*}
V_{\max}(n) = \frac{k^{3/2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{Q(n)}}
V_{\max}(n) = \frac{k^{\frac{3}{2}}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{Q(n)}}
\end{equation*}
로 나타낼 수 있다. 따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 $Q(n) = n\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$의 변화에 의해 결정된다.
앞서 $Q(n)$이 순감소하며 $\lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi$임을 보였다. 따라서
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
= \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
= \frac{k^{\frac{3}{2}}}{3 \sqrt{3\pi}}
\end{equation*}
가 된다.
이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
이러한 일치는 정다각형이 $n \to \infty$일 때 원으로 수렴한다는 기하학적 사실의 수학적 표현이다. 탐구 초반에 세운 예상—변이 많을수록 부피가 크고 원기둥이 최적—이 극한 분석과 원기둥 직접 계산 모두에서 일관되게 검증된 셈이다.
또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는 $\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
즉, $\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}$ ($n \to \infty$)이므로 $Q(n) \approx \pi$로 빠르게 수렴하게 되고, 이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
이러한 일치는 정다각형이 $n \to \infty$일 때 원으로 수렴한다는 기하학적 사실의 수학적 표현이다. 탐구 초반에 세운 예상인 ``변이 많을수록 부피가 크고 원기둥이 최적일 것이다''가 극한 분석과 원기둥 직접 계산 모두에서 검증된 것이다.
기하학적으로 해석하면, 정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며, 같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고, 결과적으로 부피가 증가하게 된다.
@@ -649,41 +651,17 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
이는 3D 프린터로 제한된 필라멘트 양을 사용할 때 가장 효율적인 컨테이너 형태를 찾는 문제로부터 출발하였다.
먼저 밑면이 직사각형인 직육면체의 경우를 분석하였다.
겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
\[
a=b=2c
\]
일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서 부피 $V=abc$를 최대화한 결과, $a=b=2c$일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
즉, 밑면은 정사각형이 되며, 높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
또한 이때 밑면의 넓이는 항상
\[
A=\frac{k}{3}
\]
이 됨을 확인하였다.
또한 이때 밑면의 넓이는 항상 $A=\frac{k}{3}$이 됨을 확인하였다.
이를 일반화하여 밑면이 정$n$각형인 기둥을 분석하였다.
제약조건을 이용하여 높이를 소거하고 부피를 $(a,n)$의 함수로 표현한 뒤, 고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
그 결과,
\[
a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
\]
이며, 이때 역시 밑면의 넓이는
\[
A=\frac{k}{3}
\]
이 됨을 확인하였다.
그 결과, $a=\sqrt{\frac{k}{3t}}$이며, 이때 역시 밑면의 넓이는 $A=\frac{k}{3}$이 됨을 확인하였다.
이는 밑면의 형태와 무관하게, 최대 부피를 가지는 경우에는 전체 겉넓이의 $\frac{1}{3}$이 밑면에, $\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
다음으로 부피 최대화를 위해서는 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, 이를 위해 함수
\[
Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
\]
을 분석하였다.
내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 경계 분석을 통해
\[
\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
\]
임을 도출하였다.
다음으로 부피 최대화를 위해서는 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고, 이를 위해 함수 $Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$을 분석하였다.
내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고, 경계 분석을 통해 $\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi$임을 도출하였다.
이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며, 그 극한이 원의 경우와 일치함을 의미한다.
따라서 고정된 겉넓이 조건 하에서 최대 부피를 가지는 도형은 밑면이 원인 원기둥임을 알 수 있다.
@@ -697,9 +675,9 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
\toprule
도형 & 최적 비율 & 밑면 넓이 & 최대 부피 \\
\midrule
직육면체 & $a = b = 2c$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{k}{3}\right)^{\!3/2}$ \\[8pt]
직육면체 & $a = b = 2c$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{k}{3}\right)^{\!\frac{3}{2}}$ \\[8pt]
정$n$각형 기둥 & $A = \dfrac{k}{3},\; b = \dfrac{2k}{3P}$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\dfrac{2k^2}{9P(n)}$ \\[8pt]
원기둥 & $a = b$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\pi\!\left(\dfrac{k}{3\pi}\right)^{\!3/2}$ \\
원기둥 & $a = b$ & $\dfrac{k}{3}$ & $\pi\!\left(\dfrac{k}{3\pi}\right)^{\!\frac{3}{2}}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{도형별 최대 부피 조건 비교}
@@ -708,49 +686,83 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
표에서 밑면 넓이가 세 경우 모두 $\frac{k}{3}$로 동일함을 한눈에 확인할 수 있다.
\subsection*{구체적 수치 예시}
\subsection*{실제 3D 프린팅 결과}
탐구의 출발점인 3D 프린팅 상황에 실제 수치를 대입하여 결과를 구체적으로 확인한다.
필라멘트 양이 겉넓이 $k = 600\,\text{cm}^2$에 해당한다고 하자.
서론에서 밝혔듯이 본 탐구는 로봇 개발용 나사와 너트를 정리할 컨테이너를, 정해진 필라멘트 양으로 최대한 크게 만들고 싶다는 동기에서 출발하였다.
따라서 도출한 결과가 실제 출력물에서도 성립하는지 확인하기 위해, 직육면체, 정육각기둥, 원기둥 컨테이너를 직접 CAD로 설계하고 3D 프린터로 출력한 뒤 물을 이용하여 부피를 측정하였다.
\textbf{원기둥:}
\begin{equation*}
a = \sqrt{\frac{k}{3\pi}} = \sqrt{\frac{600}{3\pi}} \approx 7.98\,\text{cm}, \qquad b = a \approx 7.98\,\text{cm}
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_{\max} = \pi a^3 = \pi\!\left(\frac{600}{3\pi}\right)^{\!3/2} \approx 1596\,\text{cm}^3
\end{equation*}
겉넓이는 $k = 90\,\text{cm}^2$로 정하고, 각 컨테이너의 바깥 치수는 앞서 도출한 최적 조건을 그대로 따랐다.
실제 출력물에서는 벽 두께를 무시할 수 없으므로 옆벽과 바닥의 두께를 모두 $d = 1\,\text{mm} = 0.1\,\text{cm}$로 하고, 벽이 바깥 치수의 안쪽을 채우도록 설계하였다.
윗면이 없으므로 안쪽 공간은 밑면 방향으로는 양쪽 벽 두께인 $2d$만큼, 높이 방향으로는 바닥 두께인 $d$만큼만 줄어든다.
예를 들어 바깥 치수가 $5 \times 5 \times 5\,\text{cm}$인 정육면체라면 안쪽 공간은 $4.8 \times 4.8 \times 4.9\,\text{cm}$가 된다.
그림 \ref{fig:cad_design}은 CAD 설계 도면이며, 그림 \ref{fig:printed}는 실제 출력물이다.
\textbf{직육면체:}
\begin{equation*}
a = b = \sqrt{\frac{k}{3}} = \sqrt{200} \approx 14.14\,\text{cm}, \qquad c = \frac{a}{2} \approx 7.07\,\text{cm}
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_{\max} = a^2 c = \frac{1}{2}\!\left(\frac{k}{3}\right)^{\!3/2} \approx 1414\,\text{cm}^3
\end{equation*}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{subfigure}[t]{0.38\textwidth}
\centering
\includegraphics[height=0.85\figheight, trim=450 204 266 170, clip]{cad_design.jpeg}
\caption{CAD 설계 도면 (단위: mm)}
\label{fig:cad_design}
\end{subfigure}
\hfill
\begin{subfigure}[t]{0.56\textwidth}
\centering
\includegraphics[height=0.85\figheight]{printed.jpeg}
\caption{출력한 컨테이너 (직육면체, 정육각기둥, 원기둥)}
\label{fig:printed}
\end{subfigure}
\caption{3D 프린팅 컨테이너의 설계와 출력물}
\end{figure}
정$n$각형 기둥의 경우 $n = 3, 4, 6$ 및 원기둥에 대한 결과를 표 \ref{tab:numerical}에 정리한다.
이때 모든 경우에서 밑면 넓이 $A = k/3 = 200\,\text{cm}^2$로 일정하다.
\subsubsection*{이론 최대 부피와 벽 두께를 고려한 부피}
$k = 90\,\text{cm}^2$를 앞서 도출한 최적 조건에 대입하여 바깥 치수를 정하였으며(그림 \ref{fig:cad_design}), 벽 두께를 무시한 이론 최대 부피 $V_{\max}$는 표 \ref{tab:summary}의 식으로 계산하였다.
벽 두께를 고려한 안쪽 공간의 부피 $V_{\text{벽}}$은 밑면 방향으로 양쪽 벽 두께를, 높이 방향으로 바닥 두께를 뺀 값이다.
정다각형의 경우 중심에서 변까지의 거리 $\frac{a}{2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$가 $d$만큼 줄어들므로 안쪽 한 변의 길이는 $a - 2d\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$가 된다($n = 4$이면 $a - 2d$).
따라서 각 도형의 $V_{\text{벽}}$은 다음과 같다.
\begin{align*}
\text{직육면체:} &\quad V_{\text{벽}} = (a - 2d)^2 (c - d) \\
\text{정육각기둥:} &\quad V_{\text{벽}} = t\left(a - \frac{2d}{\sqrt{3}}\right)^2 (b - d) \\
\text{원기둥:} &\quad V_{\text{벽}} = \pi (a - d)^2 (b - d)
\end{align*}
세 도형 모두 벽이 차지하는 부피 $V_{\max} - V_{\text{벽}}$은 약 $8.7\,\text{cm}^3$로 거의 같다.
이는 벽의 부피가 대략 겉넓이와 두께의 곱인 $kd = 9.0\,\text{cm}^3$이기 때문이며, 모서리에서 벽이 서로 겹치는 부분만큼 조금 더 작게 나타난다.
벽의 부피는 곧 출력에 사용된 필라멘트의 부피이므로, 이 결과는 연구 설계에서 세운 ``필라멘트 양은 겉넓이에 비례한다''는 가정이 타당함을 보여준다.
\subsubsection*{물을 이용한 부피 측정}
마지막으로 출력한 세 컨테이너에 증류수를 가득 채운 뒤 담긴 물의 질량을 측정하였다.
증류수는 $1\,\text{cm}^3$당 질량이 약 $1\,\text{g}$이므로, 측정한 질량의 수치를 그대로 부피 $V_{\text{측정}}$으로 볼 수 있다.
측정 결과는 직육면체 $73\,\text{g}$, 정육각기둥 $79.2\,\text{g}$, 원기둥 $83\,\text{g}$이었다.
오차는 $\frac{V_{\text{측정}} - V_{\text{벽}}}{V_{\text{벽}}} \times 100\,\%$로 계산하였으며, 전체 결과를 표 \ref{tab:printing}에 정리한다.
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{@{}ccccc@{}}
\begin{tabular}{@{}lcccc@{}}
\toprule
$n$ & 밑면 & $a\,(\text{cm})$ & $b\,(\text{cm})$ & $V_{\max}\,(\text{cm}^3)$ \\
도형 & $V_{\max}\,(\text{cm}^3)$ & $V_{\text{벽}}\,(\text{cm}^3)$ & $V_{\text{측정}}\,(\text{cm}^3)$ & 오차 \\
\midrule
3 & 정삼각형 & 21.49 & 6.20 & 1241 \\
4 & 정사각형 & 14.14 & 7.07 & 1414 \\
6 & 정육각형 & 8.77 & 7.60 & 1520 \\
$\infty$ & 원 & 7.98 & 7.98 & 1596 \\
직육면체 & 82.2 & 73.5 & 73.0 & $-0.7\,\%$ \\
정육각기둥 & 88.3 & 79.6 & 79.2 & $-0.5\,\%$ \\
원기둥 & 92.7 & 84.0 & 83.0 & $-1.2\,\%$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\caption{$k = 600\,\text{cm}^2$일 때 정$n$각형 기둥의 최적 치수 및 최대 부피}
\label{tab:numerical}
\caption{$k = 90\,\text{cm}^2$일 때 이론 최대 부피, 벽 두께를 고려한 부피, 측정 부피}
\label{tab:printing}
\end{table}
$n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값에 수렴함을 수치로 확인할 수 있다.
직육면체($n = 4$)와 원기둥을 비교하면 같은 필라멘트 양으로 약 $\frac{1596 - 1414}{1414} \approx 12.9\%$ 더 큰 부피를 얻을 수 있다.
이는 소규모 부품 정리 컨테이너를 설계할 때 밑면 형태의 선택이 실질적인 차이를 만들어냄을 보여준다.
세 컨테이너 모두 측정 부피가 벽 두께를 고려한 부피와 $1.2\,\%$ 이내로 일치하였다.
측정값이 모두 계산값보다 약간 작은 것은 물을 가장자리 끝까지 정확히 채우기 어렵다는 점, 출력 과정에서 벽이나 바닥이 설계보다 약간 두껍게 만들어질 수 있다는 점 등이 원인으로 생각된다.
또한 실온에서 증류수의 밀도는 $1\,\text{cm}^3$당 $1\,\text{g}$보다 조금 작으므로, 질량의 수치를 그대로 부피로 본 것도 작은 오차를 만든다.
가장 중요한 점은 부피의 크기 순서인 원기둥 $>$ 정육각기둥 $>$ 직육면체가 이론값, 벽 두께를 고려한 값, 측정값 모두에서 동일하게 나타났다는 것이다.
즉, 변의 수가 많을수록 부피가 커지고 원기둥이 최적이라는 수학적 결론이 실제 출력물에서도 확인되었다.
원기둥은 직육면체보다 이론상 약 $12.8\,\%$, 측정상 약 $\frac{83 - 73}{73} \approx 13.7\,\%$ 더 큰 부피를 가졌다.
벽이 차지하는 부피는 세 도형이 거의 같으므로, 원래 부피가 작은 직육면체일수록 벽으로 잃는 비율이 커져($10.6\,\%$, 원기둥은 $9.4\,\%$) 실제 출력물에서는 원기둥의 이점이 오히려 조금 더 커진다.
본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
@@ -760,9 +772,6 @@ $n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값
\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며, 원기둥이 최적 구조가 된다.
\end{itemize}
이 결과는 기하학적 대칭성이 최적화를 유도한다는 일반적인 원리와도 연결된다.
대칭성이 높아질수록 동일한 겉넓이로 더 큰 내부 공간을 확보할 수 있다.
다만 본 연구에는 몇 가지 한계와 확장 가능성이 있다.
첫째, 벽 두께를 무시하여 겉넓이와 필라멘트 사용량이 완전히 비례한다고 가정하였다. 실제 3D 프린팅에서는 일정한 벽 두께가 유지되므로, 도형의 모서리나 꼭짓점 처리 방식에 따라 필라멘트 사용량 계산이 달라질 수 있다.
둘째, 본 연구는 윗면이 없는 기둥에 한정되었다. 윗면이 있는 닫힌 원기둥의 경우 겉넓이 공식이 $S = 2\pi a^2 + 2\pi ab$로 바뀌며, 동일한 방법으로 최적화하면
@@ -774,6 +783,6 @@ $n$이 증가할수록 부피가 단조 증가하여 원기둥에서 최댓값
결론적으로, 고정된 겉넓이를 가지는 윗면이 없는 기둥 중 최대 부피를 가지는 도형은 원기둥이며, 이는 대칭성과 둘레 최소화의 원리에 의해 설명된다.
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\end{document}
\end{document}