part6 written by GPT

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@@ -644,6 +644,84 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
     \label{fig:v_max_n}
 \end{figure}
 
+그림 \ref{fig:v_max_n}은 정$n$각형 기둥에서 최대 부피 $V_{\max}(n)$이
+변의 개수 $n$에 따라 어떻게 변화하는지를 나타낸 것이다.
+이때 $k$는 일정한 값으로 고정되어 있으며,
+각 $n$에 대해 앞서 도출한 최적 조건을 적용하여 계산한 값이다.
+
+그래프를 통해 다음과 같은 특징을 관찰할 수 있다.
+
+\begin{itemize}
+    \item $n$이 증가할수록 $V_{\max}(n)$은 단조 증가한다.
+    \item 증가량은 점점 감소하며, 특정 값에 점근적으로 수렴하는 형태를 보인다.
+\end{itemize}
+
+이러한 경향은 앞서 유도한 식을 통해 이론적으로도 설명할 수 있다.
+최대 부피는
+\begin{equation}
+    V_{\max}(n) = \frac{2k^2}{9P(n)}
+\end{equation}
+이며, 둘레는
+\begin{equation}
+    P(n) = 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    V_{\max}(n)
+    = \frac{2k^2}{9 \cdot 2 \sqrt{\frac{kn \tan(\pi / n)}{3}}}
+    = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n \tan(\pi / n)}}
+\end{equation}
+로 나타낼 수 있다.
+
+따라서 $V_{\max}(n)$의 증감은 함수
+\begin{equation}
+    Q(n) = n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
+\end{equation}
+의 변화에 의해 결정된다.
+
+앞서 $Q(n)$이 $n$이 증가함에 따라 감소하며,
+\begin{equation}
+    \lim_{n \to \infty} Q(n) = \pi
+\end{equation}
+임을 보였다.
+따라서
+\begin{equation}
+    \lim_{n \to \infty} V_{\max}(n)
+    = \frac{k^{3/2}}{3 \sqrt{3\pi}}
+\end{equation}
+가 된다.
+
+이 값은 이후 원기둥의 최대 부피로 도출된 값과 정확히 일치한다.
+
+또한 $n$이 증가할수록 증가폭이 점점 작아지는 이유는
+$\tan(\pi/n)$이 $n$이 커질수록 $\frac{\pi}{n}$에 가까워지기 때문이다.
+즉,
+\begin{equation}
+    \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}
+    \quad (n \to \infty)
+\end{equation}
+이므로,
+\begin{equation}
+    Q(n) \approx \pi
+\end{equation}
+로 빠르게 수렴하게 되고,
+이에 따라 $V_{\max}(n)$ 역시 일정 값에 점점 가까워지게 된다.
+
+기하학적으로 해석하면,
+정다각형은 변의 개수가 증가할수록 원에 가까워지며,
+같은 넓이를 가질 때 둘레가 점점 감소한다.
+이로 인해 동일한 겉넓이 조건에서 더 많은 면적을 밑면에 할당할 수 있게 되고,
+결과적으로 부피가 증가하게 된다.
+
+그러나 $n$이 충분히 커진 이후에는
+정다각형과 원 사이의 차이가 매우 작아지기 때문에,
+부피 증가 역시 거의 발생하지 않는다.
+이는 그래프에서 증가가 점점 완만해지는 형태로 나타난다.
+
+따라서 정$n$각형 기둥의 최대 부피는
+$n$이 증가함에 따라 단조 증가하며,
+그 극한은 원기둥의 최대 부피와 일치한다.
+
 \section{결론}
 
 본 연구는 고정된 겉넓이 $k$를 가지는 윗면이 없는 기둥 중에서
@@ -655,14 +733,14 @@ $\lim_{u \to 0}{Q(u)} < Q(3)$이기 때문에 $Q(u)$의 최솟값은 $n$이 무
 겉넓이 $S=ab+2ac+2bc=k$의 제약조건 하에서
 부피 $V=abc$를 최대화한 결과,
 \[
-a=b=2c
+    a=b=2c
 \]
 일 때 최대 부피가 됨을 도출하였다.
 즉, 밑면은 정사각형이 되며,
 높이는 밑변 길이의 절반이 된다.
 또한 이때 밑면의 넓이는 항상
 \[
-A=\frac{k}{3}
+    A=\frac{k}{3}
 \]
 이 됨을 확인하였다.
 
@@ -672,11 +750,11 @@ A=\frac{k}{3}
 고정된 $n$에서 최대가 되는 $a$를 구하였다.
 그 결과,
 \[
-a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
+    a=\sqrt{\frac{k}{3t}}
 \]
 이며, 이때 역시 밑면의 넓이는
 \[
-A=\frac{k}{3}
+    A=\frac{k}{3}
 \]
 이 됨을 확인하였다.
 이는 밑면의 형태와 무관하게
@@ -688,13 +766,13 @@ $\frac{2}{3}$이 옆면에 배분된다는 것을 의미한다.
 둘레 $P$가 최소가 되어야 함을 보였고,
 이를 위해 함수
 \[
-Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
+    Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
 \]
 을 분석하였다.
 내부 극값이 존재하지 않음을 증명하고,
 경계 분석을 통해
 \[
-\lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
+    \lim_{n\to\infty}Q(n)=\pi
 \]
 임을 도출하였다.
 이는 변의 개수가 증가할수록 둘레가 감소하며,
@@ -709,10 +787,10 @@ Q(n)=n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)
 본 연구를 통해 도출된 가장 중요한 통찰은 다음과 같다.
 
 \begin{itemize}
-\item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
-\item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
-\item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
-      원기둥이 최적 구조가 된다.
+    \item 최대 부피가 되는 경우, 밑면 넓이는 항상 $\frac{k}{3}$이다.
+    \item 최대 부피는 옆면 둘레가 최소가 되는 도형에서 발생한다.
+    \item 정다각형은 변의 수가 증가할수록 원에 수렴하며,
+          원기둥이 최적 구조가 된다.
 \end{itemize}
 
 이 결과는 기하학적 대칭성이